代数学特論第２回レポート 1. (1) (Z/5Z)× の要素 C(2)、C(3)、C(4) に対し、C(2)4 、C(3)4 、C(4)4 を計算せよ。 (2) (1) を用いて、5 と互いに素な整数 k に対し、k 4 ≡ 1 (mod 5) であることを示せ。 2. 次の計算をせよ。 ( (1) ( 3. S8 の元 1 2 5 3 3 4 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 4 7 5 8 6 6 7 2 8 1 (1) 巡回置換の積の形に書け。 )( 1 2 1 3 3 5 4 4 5 2 ) ( (2) 1 2 5 3 3 6 4 1 5 2 6 4 )−1 ) を次のように変形せよ。 (2) 互換の積の形で書け。 4. (i1 i2 · · · ik ) を Sn に含まれる巡回置換とし、σ ∈ Sn とする。このとき、σ(i1 i2 · · · ik )σ −1 = (σ(i1 ) σ(i2 ) · · · σ(ik )) を示せ。 5. (1) Sn の元に対し、次の (a) ∼ (c) が成り立つことを示せ。 (a) (i j) = (1 i)(1 j)(1 i) （2 ≤ i, j ≤ n), (c) (1 i)(1 j) = (1 2 i)(1 2 j)2 (b) (1 2)(1 j) = (1 2 j)2 (3 ≤ i, j ≤ n), (3 ≤ i, j ≤ n, i ̸= j) (2) (1) の (a) ∼ (c) を用いて、次の (A) ∼ (F) の形の互換２つの積が、(1 2 k) （3 ≤ k ≤ n）の形の巡回置換の積で表されることを示せ。 (A) (1 2)(1 l) (l > 2), (B) (1 j)(1 2) (D) (1 j)(k l) (k > 1, j, l > 2), (j > 2), (E) (i j)(1 l) (C) (1 j)(1 l) (i > 1, j, l > 2), (j, k > 2), (F) (i j)(k l) (i, j > 1, j, l > 2), (3) An の要素は、(1 2 k) （3 ≤ k ≤ n）の形の巡回置換の積で表されることを示せ。 (4) (1 5 6)(3 4 7) ∈ A7 を (1 2 k) （3 ≤ k ≤ 7）の形の巡回置換の積に書き直せ。 • 提出は A4 の市販のレポート用紙を使ってください。ルーズリーフは使用しないこと。 • 必ず全ての問題に解答してください。解答されていない問題がある場合は、添削はしますが評価はしません。 • あくまでも人に読ませるものであることを意識してください。解読できない乱雑なもの、文章が成立していないものは提出したとみなしません。 • 丸写しと認められるレポートは提出したとみなしません。また、ファイルを丸ごとコピーするおそれがあるので、ワープロ等での提出は認めませんので、ご了承ください。 • 8 月 5 日 17:00 までに提出してください。