東京大学理系4番

４番
p, q は実数の定数で、0 < p < 1, q > 0 をみたすとする。関数
(
)
f (x) = (1 − p) x + (1 − x) 1 − e−qx
を考える。
以下の問に答えよ。必要であれば、不等式 1 + x 5 ex がすべての実数 x に対し
て成り立つことを証明なしで用いてよい。
(1) 0 < x < 1 のとき、0 < f (x) < 1 であることを示せ。
(2) x0 は 0 < x0 < 1 をみたす実数とする。数列 {xn } の各項 xn (n = 1, 2, 3, · · · )
を
xn = f (xn−1 )
によって、順次定める。p > q であるとき、
lim xn = 0
n→∞
となることを示せ。
(3) p < q であるとき、
c = f (c) , 0 < c < 1
をみたす実数 c が存在することを示せ。
【2014 東京大学理系】
解答
(1)
(
)
f 0 (x) = 1 − p − 1 − e−qx + (1 − x) qe−qx
= −p + e−qx (1 + q − qx)
f 00 (x) = −qe−qx (1 + q − qx) − qe−qx
= −qe−qx (2 + q − qx) < 0 (: 0 < x < 1)
であるから、f 0 (x) は 0 < x < 1 で単調減少。よって、
f 0 (1) < f 0 (x) < f 0 (0)
⇔ −p + e−q < f 0 (x) < −p + 1 + q
( i ) −p + e−q = 0 のとき、0 < x < 1 で f 0 (x) > 0 だから、
f (0) < f (x) < f (1)
⇔ 0 < f (x) < 1 − p < 0
c
Darumafactory
-1-
RadicalMath
が成り立つ。
( ii ) −p + e−q < 0 のとき、中間値の定理と単調性より、
f 0 (k) = 0, 0 < k < 1
なる c がただ１つ存在する。f (x) の増減表は下表。
x
0
f 0 (x)
f (x)
···
k
···
+
0
−
0
1
1−p
極大
f 0 (k) = −p + e−qk (1 + q − qk) = 0
より、
p = e−qk (1 + q − qk)
これを用いて、
(
)
f (k) = (1 − p) k + (1 − k) 1 − e−qk
{
}
(
)
= 1 − e−qk (1 + q − qk) k + (1 − k) 1 − e−qk
= k − e−qk (1 + q − qk) k + 1 − k − e−qk (1 − k)
= 1 − e−qk {1 + q (1 − k) k} < 1
いずれにせよ、0 < f (x) < 1 が成り立つ。
(2) 0 < xk < 1 とすると、(1) より、
0 < f (xk ) < 1 ⇔ 0 < xk+1 < 1
そして、0 < x0 < 1 であるから、数学的帰納法により、
0 < xn < 1 (n = 0, 1, 2, · · · · · ·)
が成り立つ。
f (0) = 0 である。平均値の定理より、
xn+1 = f (xn ) − f (0) = (xn − 0) f 0 (zn ) かつ
0 < z n < xn
となる zn が存在する。f 0 (x) は単調減少であったから、
f 0 (zn ) < f 0 (0) = 1 − p + q < 1
(∵ 1 − (1 − p + q) = p − q > 0)
よって、
xn+1 < (1 − p + q) xn
c
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-2-
RadicalMath
これを繰り返し用いて、
n
0 < xn < (1 − p + q) x0 → 0 (: n → ∞)
よって、
lim xn = 0
n→∞
が成り立つ。
(3)
F (x) = f (x) − x
とおく。
F 0 (x) = f 0 (x) − 1
F 00 (x) = f 00 (x) < 0
だから、F 0 (x) は単調減少で、
F 0 (1) < F 0 (x) < F 0 (0)
⇔ −p + e−q − 1 < F 0 (x) < −p + q
となる。
−p + e−q − 1 < 0, −p + q > 0
であるから、f 0 (α) = 0, 0 < α < 1 なる α が存在する。F (x) の増減は下表のよう
になる。
x
0
···
α
···
+
0
−
f 0 (x)
f (x)
1
−p
極大
0
これより、
F (α) > 0, F (1) = −p < 0
であるから、中間値の定理より、
F (c) = 0, 0 < c < 1 ⇔ f (c) = c, 0 < c < 1
となる c が存在する。
__
−q
__p と e の大小によりグラフは変わるが、0 < f (x) < 1 は成立する。
y
y
1
O
1
1
x
−p + e−q = 0
c
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O
1
x
−p + e−q < 0
-3-
RadicalMath
p < q のとき、y = f (x) と y = x は 0 < x < 1 で交点をもつ。
y
1
O
1
x
p<q
縮小写像の問題であり、頻出テーマである。このテーマについては徹底的な訓練をし
てもらうために、縮小写像の問題を集めたテキストが配布される。
c
Darumafactory
-4-
RadicalMath

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