2015 早稲田大学政治経済学部数学解答例問1 (1) a = −1 (2) (b，c) = ( ) 1 ，2 2 問2 − → → − → − −→ (1) DE = − 1 a − 1 b + k c 2 2 (2) 四面体 OABC は一辺の長さ 1 の正四面体であるから − → − → − → |a|=|b|=|c|=1 − → − → → − → − − → − → a · b = b · c = c · a = 1 · 1 · cos 60◦ = 1 2 となる． − → − → − → − → − → − − → − → − → → −→ |DE|2 = 1 | a |2 + 1 | b |2 + k 2 | c |2 + 1 a · b − k b · c − k c · a 4 4 2 = 1 · 12 + 1 · 12 + k 2 · 12 + 1 · 1 − k · 1 − k · 1 4 4 2 2 2 2 3 = k2 − k + 4 であるから −→ |DE| = √ k2 − k + 3 4 :::::::::::: となる． (3) −→ −→ AB · DE (− → − →) ( − → − → − →) = b − a · −1 a − 1 b +k c 2 2 (− →2 − → 2) − → → − → − − → 1 =− |b| −|a| +k b · c −k c · a 2 = − 1 (1 − 1) + k · 1 − k · 1 2 2 2 = 0: となる． −→ −→ (4) (3) より，AB ⊥ DE であるから −→ −→ S = 1 |AB||DE| 2 √ = 1 · 1 · k2 − k + 3 2 4 √ = 1 k2 − k + 3 2 4 :::::::::::::: となる． S= 1 2 √( k− 1 2 )2 + 1 2 √ 2 1 より，0 < k < 1 において，S は k = のとき最小値をとる． 2 4 :: ::: 問3 (1) (ア) (イ) (ウ) (エ) 120 24 6 78 (2) 64 問4 (1) 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 ······⃝ 1 を示す． n = 1 のとき (左辺) = 1 · 1! = 1 (右辺) = (1 + 1)! − 1 = 2 − 1 = 1 となり，n = 1 のとき⃝ 1 は成立する．ある自然数 n で⃝ 1 が成立すると仮定すると， 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 が成立する．両辺に (n + 1) · (n + 1)! を加えると 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! + (n + 1) · (n + 1)! = (n + 1)! − 1 + (n + 1) · (n + 1)! = {1 + (n + 1)} · (n + 1)! − 1 = (n + 2) · (n + 1)! − 1 = (n + 2)! − 1 が成立するので，n + 1 のときも⃝ 1 が成立する．以上より，数学的帰納法により，⃝ 1 が成立することが示された． (2) 0 ≦ ak ≦ k \ 0 より (k = 1, 2, · · · , n)，an = a1 · 1! + a2 · 2! + · · · + an · n! ≧ 0 · 1! + 0 · 2! + · · · + 1 · n! = n! ······⃝ 2 a1 · 1! + a2 · 2! + · · · + an · n! ≦ 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1 ······⃝ 3 ⃝ 2 ，⃝ 3 より n! ≦ 2015 ≦ (n + 1)! − 1 を満たす自然数 n を求める．6! = 720，7! = 5040 であるから，n:::: = 6 となる． (3) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 3, a5 = 4, a6 = 2