0 1 = = c a ,

２０１４年度
中京大学
工学部
一般・特Ⅱ推薦
数学基礎学力型問題
〔Ⅰ〕
数学基礎学力問題
f ( x)  x  ax  b,
2
g( x)  x  c
〔Ⅰ〕～〔Ⅲ〕
とおく。
(1)
論述問題
配点比率
６
４
a  2, b  4 のとき
f ( x)  x 2  2 x  4
 (x  1) 2  3
※上記の比率は，数学基礎学力問題と論述問題の
また
合計を「10」としたおおよその割合です。
 x  c ( x ≧ c のとき )
g( x)  
 x  c ( x  c のとき)
f ( x)  0,
※論述問題の解答例は掲載しておりません。
g( x) ≧ 0 であるから，グラ
フの共有点の y 座標は正である。よっ
て，次の①または②が実数解をもつこ
とが条件となる。
x 2  2x  4  x  c
…………①
x  2x  4  x  c
………②
2
①は x  3 x  c  4  0 であるから，実数解をもつためには，判別式より
2
(3) 2  4( c  4) ≧ 0
すなわち
c≦ 
7
4
②は x 2  x  c  4  0 であるから，実数解をもつためには
(1) 2  4(c  4) ≧ 0
すなわち
c≧
15
4
7 15
したがって，求める範囲は， c ≦  ,
≦c
4
4
(2)
a  1, c  0 のとき
f ( x)  x 2  x  b
 x ( x ≧ 0 のとき )
g( x)  
 x ( x  0 のとき)
y  f (x) のグラフの軸は直線 x  
x2  x  b  x
すなわち
1
であるから，グラフが共有点をもつのは
2
x 2  2x  b  0
が実数解をもつときである。
よって，判別式を D とすると
D
 12  b≧ 0
4
すなわち
b ≦1
〔Ⅱ〕
数字を 3 種類使う場合と 2 種類使う場合がある。
・3 種類使う場合は，どの数字を 2 個使うかで 3C1 通り，並べ方が
よって，3C1×
4!
通り
2!1!1!
4!
＝36(通り)
2!1!1!
・2 種類使う場合は，｢1 個と 3 個｣，｢2 個と 2 個｣のときがある。
｢1 個と 3 個｣のときは，数字の選び方が 3P2 通り，並べ方が
4!
通り
1!3!
｢2 個と 2 個｣のときは，数字の選び方が 3C2 通り，並べ方が
4!
通り
2!2!
よって，3P2×
4!
4!
＋3C2×
＝24＋18＝42(通り)
1!3!
2!2!
全部で，36＋42＝78(通り)
〔Ⅲ〕
f ( x)  x 3  3x 2  x  10
とおく。
(1)
f ( x)  3 x 2  6 x  1 より， f (x)  0 となる x の値は
x
3 2 3
3
であるから， x ≧ 0 における増減表は右のようになる。
ここで
1
8
29
1
x 3  3 x 2  x  10   x  (3 x 2  6 x  1)  x 
3
3
3
3
より
3 2 3 
   8  3  2 3  29  63  16 3
f
 3 
3
3
3
9


であり， 3  2 から， 63  16 3  63  16  2  31  0
よって， x ≧ 0 における f (x) の最小値は正である。
したがって， x ≧ 0 のとき， x 3  3 x 2  x  10  0
(2) 曲線と直線の共有点の x 座標は
x 3  3x 2  x  10  9 x  10
すなわち
x( x  2)( x  5)  0
より， x  2, 0, 5
x≧0 のとき，求める面積 S は右図の斜線部分
S＝
5
 {9x  10  ( x
5
＝
3
 3x 2  x  10)}dx
0
 ( x
3
 3x 2  10 x)dx
0
＝  
5
1 x 4  x3  5 x 2 
 0
 4
＝
＝
625  125  125
4
375
4

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