7. 逆行列

第１章「行列とその応用」
7. 逆行列
hmc-1-7
(pdf ファイル)
行列学習マップ
行列の演算
行列の基本概念
加法（和・差）
零行列
実数倍
乗法
累乗
零因子
Cayley - Hamiltonの定理
逆行列
対角化
00800_01
逆行列
た
を正方行列とし，
に対して，
を単位行列とする．与えられ
を満たす行列
が存在するとすれば，それはつしか
ない．
が存在するとき，をの
そこで，そのような
逆行列といい， A − 1 で表す．
注
は，数の場合でいえば，逆数に対応するも
のであるが，積についての交換法則が成り立たないの
で，
とは書けない．
C 02102
逆行列の計算
行列
とすると，
の逆行列を
となることから，
かつ
，
を計算すると，
，
，
C 02201
逆行列が求められる場合
のとき，，，，から，，，，
が求められ，
このとき，
となり，
ゆえに，
も満たす．
は，の逆行列
である．
C 02202
逆行列が求められない場合
を満たす
のとき，
，，，が存在するためには，
でなければならないが，そのときは
となるの
となる
は存在しえない．
で
すなわち，このときにはの逆行列は存在しない．
C 02301
逆行列が存在するための必要十分条件
行列
に対して，
と
おく．
は
で，
のとき，
のとき，
の逆行列は存在しない．
の行列式
と呼ばれる実数
や
と表されることが一般的である．
C 02302
逆行列の例
，
について，
の行列式は，
であるから，
の行列式は，
の逆行列は存在しない．
については，その行列式が
行列
であるから，
し，
であるから，
のとき
のときの逆行列は存在
の逆行列は存在しない．
C 02303
例題
行列
とするとき，
を満たす行列
を求めよ．
【解】行列は，その行列式が
であることより
の両辺に
から
をかけて，
C 02401
例題
，が同じ型の正方行列で，逆行列
，
があるとき，次の式が成り立つことを証明せよ．
【解】
したがって，
C 02501
【研究】逆行列の性質
正方行列に対し，
を満たす正方行列
が存在するとき，
も成り立つ．
この性質を仮定して良いとすれば，一方の等式，た
とえば，
を示すだけで
も示されていることになる．
また，
立つ．
の逆行列は
であるから，次の式が成り
C 02502

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