− 25 − 2003 年度 基礎数学ワークブック 初級編 N o. 3 < 関数の高次近似 3 > 例 1 前ページの例より f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a) 1 = f 00 (a) 2 x→a (x − a) 2 lim である。従って x が a に十分近い時は f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a) 1 ; f 00 (a) 2 (x − a) 2 とみなせる。両辺に (x − a)2 をかけると f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a) ; 1 00 f (a)(x − a)2 2 よって 1 x ; a のとき f(x) ; f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (a)(x − a)2 2 が成り立つ。右辺は x の２次式であるから、これを x = a の近くでの２次近似式とい う。 例 2 前のページの問 (1) の結果より x ; a のとき f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a) − (x − a)3 1 00 f (a)(x − a)2 1 2 ; f 000 (a) 6 とみなせる。両辺に (x − a)3 をかけると , f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a) − 1 00 1 f (a)(x − a)2 ; f 000 (a)(x − a)3 2 6 よって x ; a のとき f (x) ; f(a) + f 0 (a)(x − a) + 1 00 1 f (a)(x − a)2 + f 000 (a)(x − a)3 2 6 が成り立つ。この場合は 3 次式なので x = a の近くでの 3 次近似式という。 問 前ページの問 (2) の結果を使って、関数 f(x) の x = a の近くでの 4 次近似式を求めよ。 (解 ) 4 次近似式 x ; a のとき f (x) ;
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