演習問題

位相空間論 B（担当：小森）１０月１５日：位相空間（続き）
この講義のホームページの URL
http://www.f.waseda.jp/ykomori/topology2014.html
問題１位相空間 (X, O) の部分集合 A について以下を示せ。
(1) Ao は A に含まれる最大の開集合である。
(2) A は A を含む最小の閉集合である。
(3) (A)c = (Ac )o
(4) A の集積点全体を Ad とすると A = A ∪ Ad である。
問題２
(1) 離散位相は距離位相であることを示せ。
(2) 空集合でない有限集合の距離位相は離散位相であることを示せ。
問題３
位相空間 (X, O) の部分集合 A 境界点の全体を ∂A とする。以下を示せ。
(1) ∂A は閉集合である。
(2) A が開集合であるための必要十分条件は A ∩ ∂A = ∅ である。
(3) A が閉集合であるための必要十分条件は ∂A ⊂ A である。
問題４
位相空間 (X, O(X)) の部分空間 (A, O(A)) と A の部分集合 B について、X におけ
る B の閉包を C 、A における B の閉包を D とすると D = A ∩ C を示せ。
問題５
ユークリッド平面 R2 の次の集合の内部、閉包、境界、集積点集合、孤立点集合を求
めよ。
(1) [0, 1) × [0, 1)
(2) {(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R}
(3) Z × Z
(4) Q × Q
問題６
集合 X の各点 x に対してテキスト８７ページの定理１の４つの条件を満たす部分集
合族 Nx が与えられているとする。このとき X の部分集合族 O を
O ∈ O ⇔ ∀x ∈ O, ∃V ∈ Nx ; x ∈ V ⊂ O
と定義すると、O は X の位相になり、位相空間 (X, O) における x の近傍系は Nx
に一致することを示せ。
1

Download Report