No.1

微分幾何学Ｉ演習問題 2015-01
所属・学年・番号
氏名
Rn := {x = (x1 , · · · , xn ) | xi ∈ R}
Rn のベクトル a, b の標準内積
n
∑
⟨a, b⟩ =
ai bi
i=1
ベクトル a の長さまたはノルム（norm）
1
∥a∥ := ⟨a, a⟩ 2
問題 1. 次のような集合 X は, それぞれコンパクトか? 連結か? 答えよ．
(1) 距離空間 X の任意の点列は, X の点に収束する部分列をもつ．
(2) X は, ユークリッド空間 Rm の有界な閉集合である．
(3) 位相空間 X の任意の２点は連続曲線により結ぶことが可能.
(4) 位相空間 X はある連結集合の連続像である. つまり, 連結集合 Y とそ
の Y から X への連続写像 f で f (Y ) = X を満たすものが存在する.
(5) 位相空間 X はあるコンパクト集合の連続像である.
問題 2. 3 次元ユークリッド空間 R3 の原点 O, 半径 r の標準球面を
S 2 (r) := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = r2 }
とするとき, 次の問いに答えよ. (1) S 2 (r) はコンパクト（compact）である理由述べよ。
(2) S 2 (r) 上の任意の 2 点 x,y は S 2 (r) 上の連続な曲線で結べることを示せ。
また, S 2 (r) は連結（connected）か？
問題 3. 標準球面（原点 O を中心，半径 r > 0）
S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r}
全体は，曲面片ではないことを示せ．
1
問題 4. 標準球面（原点 O を中心，半径 r > 0）
S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r}
は，いくつかの曲面片で覆えることを示せ．
問題 5. 標準球面（原点 O を中心，半径 r > 0）
S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r}
の北半球 U+ := {x ∈ S 2 (r) | x3 > 0} は，半径 r の開円板と同相であることを
示せ．
問題 6. 標準球面（原点 O を中心，半径 r > 0）
S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r}
から北極 N (0, 0, r) を除いた集合 S 2 (r) \ {N } は，平面 R2 と同相であることを
示せ．
問題 7. X を集合，∼ を X に与えられた同値関係，Y = X/ ∼ をその商集合
（同値類集合），π : X → Y を自然な射影とする．X に位相 OX が定められて
いるとき，Y に誘導される商位相 OY とはどのような位相か説明せよ．
2

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