微分幾何学I 演習問題 2015-01 所属・学年・番号 氏名 Rn := {x = (x1 , · · · , xn ) | xi ∈ R} Rn のベクトル a, b の標準内積 n ∑ ⟨a, b⟩ = ai bi i=1 ベクトル a の長さまたはノルム(norm) 1 ∥a∥ := ⟨a, a⟩ 2 問題 1. 次のような集合 X は, それぞれコンパクトか? 連結か? 答えよ. (1) 距離空間 X の任意の点列は, X の点に収束する部分列をもつ. (2) X は, ユークリッド空間 Rm の有界な閉集合である. (3) 位相空間 X の任意の2点は連続曲線により結ぶことが可能. (4) 位相空間 X はある連結集合の連続像である. つまり, 連結集合 Y と そ の Y から X への連続写像 f で f (Y ) = X を満たすものが存在する. (5) 位相空間 X はあるコンパクト集合の連続像である. 問題 2. 3 次元ユークリッド空間 R3 の原点 O, 半径 r の標準球面を S 2 (r) := {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = r2 } とするとき, 次の問いに答えよ. (1) S 2 (r) はコンパクト(compact)である理由述べよ。 (2) S 2 (r) 上の任意の 2 点 x,y は S 2 (r) 上の連続な曲線で結べることを示せ。 また, S 2 (r) は連結(connected)か? 問題 3. 標準球面(原点 O を中心,半径 r > 0) S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r} 全体は,曲面片ではないことを示せ. 1 問題 4. 標準球面(原点 O を中心,半径 r > 0) S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r} は,いくつかの曲面片で覆えることを示せ. 問題 5. 標準球面(原点 O を中心,半径 r > 0) S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r} の北半球 U+ := {x ∈ S 2 (r) | x3 > 0} は,半径 r の開円板と同相であることを 示せ. 問題 6. 標準球面(原点 O を中心,半径 r > 0) S 2 (r) := {x ∈ Rn | ∥x∥ = r} から北極 N (0, 0, r) を除いた集合 S 2 (r) \ {N } は,平面 R2 と同相であることを 示せ. 問題 7. X を集合,∼ を X に与えられた同値関係,Y = X/ ∼ をその商集合 (同値類集合),π : X → Y を自然な射影とする.X に位相 OX が定められて いるとき,Y に誘導される商位相 OY とはどのような位相か説明せよ. 2
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