期末テスト問題

位相空間論 B（担当：小森）７月２３日：期末テスト
X 問題１.
(1) 距離空間 (X, d) の点 p の ε 近傍 U (p; ε) は開集合であることを示せ。
(2) 距離空間 (X, d) の部分集合 B について、B が閉集合であるための必
要十分条件は B = B であることを示せ。
問題２.
距離空間 (X, d) の部分集合 A について
(1) A が有界ならば、X の任意の点 b に対してある η > 0 が存在して
A ⊂ U (b; η) を満たすことを示せ。
(2) A が閉集合であるための必要十分条件は、A の点列 {an } が X の点
p に収束すれば p ∈ A となることを示せ。
問題３.
(1) ２つの距離空間 (X, dX ) と (Y, dY ) の直積集合 X × Y 上の直積距離
d : (X × Y ) × (X × Y ) → R が距離関数の公理を満たすことを示せ。
(2) ２つの完備距離空間 (X, dX ) と (Y, dY ) の直積距離空間 (X × Y, d) も
完備であることを示せ。
問題４.
(1) 距離空間 (X, d) の部分集合 A が点列コンパクトならば、A は有界閉
集合であることを示せ。
(2) Rn の有界閉集合 A は点列コンパクトであることを示せ。
(3) 一般に距離空間 (X, d) の有界閉集合 A は点列コンパクトではないこ
とを、X と A の例を挙げて説明せよ。
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位相空間論 B（担当：小森）７月２３日：期末テスト
定義.
(1) 距離空間 (X, d) の点 p の ε 近傍 U (p; ε) とは
U (p; ε) = {x ∈ X | d(x, p) < ε}
(2) 距離空間 (X, d) の部分集合 A が開集合であるとは、A の任意の点 p
に対しある ε > 0 が存在して U (p; ε) ⊂ A となること。
(3) 距離空間 (X, d) の点 q と部分集合 B に対し、q が B の触点である
とは、任意の ε > 0 に対し U (q; ε) ∩ B ̸= ∅ となること。
(4) 距離空間 (X, d) の部分集合 B の閉包 B とは B の触点全体。
(5) 距離空間 (X, d) の部分集合 B が閉集合であるとは、X における B
の補集合 B c = X − B が開集合であること。
(6) A が有界であるとは、ある点 c ∈ X と δ > 0 が存在して A ⊂ U (c; δ)
を満たすこと。
(7) ２つの距離空間 (X, dX ) と (Y, dY ) の直積集合 X × Y 上の直積距離
d : (X ×Y )×(X ×Y ) → R とは、X ×Y の任意の２点 (x1 , y1 ), (x2 , y2 )
に対し
√
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = dX (x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
(8) 距離空間 (X, d) が完備であるとは、X の任意のコーシー列は収束列
であること。
(9) 距離空間 (X, d) の部分集合 A が点列コンパクトであるとは、A の任
意の点列 {an } は A の点に収束する部分列 {aik } を持つこと。

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