統計力学 I

統計力学 I
兵庫県立大学大学院物質理学研究科
高橋慶紀
[email protected]
2015 年 9 月 28 日
概要
このノートは、統計力学 I の講義を履修する学生の便宜を図るために作成したものです。こ
れを公開する理由は、学生が講義の際に教員の説明を聞くことに専念できるようにするためで
す。内容は、初心者に統計力学と呼ばれる物理学の分野の基本的な考えを理解してもらう目的に
沿ったものです。他の物理学に関連する講義と同様に、この講義の理解にも、ある程度の数学的
な素養を前提としています。
1
目次
1
はじめに
1.1
力学と確率
1.2
位相空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
1.3
2
滞在時間と確率の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
統計力学の基本原理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
マイクロカノニカルアンサンブル
6
7
8
9
2.1
2.2
マイクロカノニカルアンサンブルとマイクロカノニカル分布 . . . . . . . . . . . .
Liouville の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
2.3
2.4
Maxwell-Boltzmann の速度分布の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
統計力学的な温度の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 温度がもつべき性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
12
12
熱平衡状態とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
2.4.2
2.4.3
2.5
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
温度の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
マイクロカノニカル分布の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1
2.5.2
単原子理想気体の系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
調和振動子の集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
16
16
2.5.3
離散的な 2 準位系の集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
カノニカルアンサンブルとカノニカル分布
3.1
3.2
3.3
カノニカルアンサンブルとカノニカル分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
カノニカル分布の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
23
3.2.1 実現確率とボルツマン因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 熱平均値の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
分配関数の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
24
25
状態数と状態密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
26
3.3.1
3.3.2
3.4
Helmholtz の自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
体積の変化する系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1
3.4.2
3.5
3.6
22
体積変化を許す場合の熱平衡条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
圧力と自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
熱力学との対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
カノニカル分布の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1
3.6.2
3.6.3
熱平衡状態にある 2 準位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4
3.6.5
3.6.6
調和振動子の集合の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.7
3.6.8
分子の回転と振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
量子補正 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
単原子の理想気体についての例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
外場の影響を受けた電気双極子や磁気双極子モーメントの系 . . . . . . . .
断熱消磁 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
混合理想気体のエントロピーと Gibbs のパラドックス . . . . . . . . . . . .
2
28
29
30
31
31
32
33
34
36
37
40
41
45
4
粒子数の変化する系の統計力学
4.1
4.2
4.3
化学ポテンシャルの導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
4.5
粒子数が自由に変化する系の化学ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
グランドカノニカルアンサンブル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
熱平均値の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
グランドカノニカルアンサンブルの応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1
4.5.2
4.5.3
5
47
理想気体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
48
49
50
調和振動子の集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
51
53
4.6
4.5.4 Langmuir の等温吸着式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gibbs の自由エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
55
4.7
ルジャンドル変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
理想気体についての別解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
光についての統計力学
59
5.1
5.2
5.3
光子ガスの統計力学
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
波動の描像による統計力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Planck の輻射公式と光量子仮説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
61
63
5.4
古典から量子統計力学へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ボース粒子とフェルミ粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
65
A 統計力学でよく利用する数学
A.1 ガウス積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
A.2 n 次元空間における球の体積と面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.4.1
3

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