Kwansei Gakuin University Repository

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Title
二次元アフィントーリック多様体の特異点解消について
Author(s)
安枝, 優介
Citation
関西学院大学
Issue Date
URL
http://hdl.handle.net/10236/12327
Right
http://kgur.kawansei.ac.jp/dspace
2013 年度修士論文要旨
二次元アフィントーリック多様体の特異点解消について
関西学院大学大学院理工学研究科
数理科学専攻増田研究室安枝優介
1. 研究の概要
2 次元アフィントーリック多様体の非特異化と, 対応する 2 次元扇の非特異化との対応を明らかにすることで
特異点解消を考察する.
2. 2 次元の扇
以下, N = Z2 , NR = R2 とする. MR を NR の双対ベクトル空間とし, <, >: MR × NR → R を標準的な双線
形写像とする. また, R0 := {c ≥ 0|c ∈ R}, Z0 := {c ≥ 0|c ∈ Z} とする.
定義 1. C ⊂ NR が有限個の元 x1 , x2 , · · · , xn ∈ NR により C = R0 x1 + R0 x2 + · · · + R0 xn と表されるとき,
この C を錐体という.
定義 2. L(C) := C ∩ (−C) と定義し, L(C) = 0 のとき, C を強凸な錐体という.
定義 3. 錐体 C の部分集合 C ′ が C の面であるとは, u ∈ MR に対し,
C ⊂ (u ≥ 0) := {x ∈ NR ; < u, x >≥ 0} かつ C ′ = C ∩ {x ∈ NR ; < u, x >= 0}
となる u が存在することと定義する.
定義 4. NR の強凸な錐体 π の面全体からなる集合を F (π) と書き, これを錐体 π によるアフィン扇という.
定義 5. NR の強凸な錐体の集合 X が
(1)X は零錐体 {0} を含む. (2) アフィン扇の和集合となる. (3)X のどの二つの錐体も分離可能である.
を満たすとき, NR の扇という.
定義 6. N のある基底の部分集合で生成された錐体を非特異錐体と定義する. また, 非特異錐体だけからなる
扇を非特異扇と定義する.
X を NR の扇とする. X の細分 X ′ が非特異扇であるとき, X ′ を X の非特異化という.
定理 7. X を NR の有限扇とすると, 特異錐体の重心細分という細分の繰り返しで X を非特異化できる.
3. 2 次元扇の非特異化
定義 8. 元 n ∈ N が NR において原点と n を結ぶ線分の両端以外に N の点が存在しないとき原始的という.
σ を NR の 2 次元錐体とする. アフィン扇 F (σ) の非特異化について解説する. 錐体の強凸性より, 原始
的な元 z0 , z1 ∈ N が存在して σ = R0 z0 + R0 z1 となる. N の基底 {u0 , u1 } を u0 = z0 となるように
とる. m, n ∈ Z によって, z1 = mu0 + nu1 と表される. z1 が原始的なので gcd{m, n} = 1 である.
1
n < 0 ならば, u1 を −u1 とすることで, n > 0 となるようにできる. N の基底 {w0 , w1 } が w0 = z0 ,
z1 = m′ w0 + n′ w1 (m′ , n′ ∈ Z, gcd{m′ , n′ } = 1, n′ > 0) を満たしているとする. このとき,
{
w0 = u0 w1 = au0 + u1 (∃a ∈ Z)
となる. z0 = w0 , z1 = (m − an)w0 + nw1 となり, 0 < m − an ≤ n を満たす a が一意的に存在する.
(
その a を用いて, q = n − (m − an) とすれば, z1 = (n − q)w0 + nw1 となる.
1
) (
n−q
)
,
を新
0
n
しい基底として取れる. 連分数展開 nq = [a1 ; a2 ; · · · ; ai−1 ] から, Z2 の基底 {vi−1 , vi }, {vi , vi+1 } に関する
( )
(
)
1
n−q
等式 vi−1 + vi+1 = ai vi を満たす a1 , · · · , ai−1 が定まる. v0 =
, vi =
ととれば, 等式
0
n
vi−1 + vi+1 = ai vi から, 各 v1 , · · · , vi−1 が定まる.
4. 2 次元アフィントーリック多様体の特異点解消
複素空間 Cn の部分集合 S に対して, I(S) = {f ∈ C[x1 , · · · , xn ]; f (v) = 0, ∀v ∈ S} と定義すれば, I(S)
は多項式環 C[x1 , · · · , xn ] のイデアルとなる. また, C[x1 , · · · , xn ] の部分集合 E に対して, V (E) = {v ∈
Cn ; f (v) = 0, ∀f ∈ E} と定義する. V ⊂ Cn が代数的集合であるとは, ある有限集合 E = {f1 , f2 , · · · , fn } に
ついて V = V (E) であるときをいう.
定義 9. V が代数的集合であり, I(V ) が素イデアルとなるとき, この V をアフィン代数多様体という.
NR の強凸な錐体 σ に対して, N の双対加群 M の部分半群 S(σ) := M ∩ σ ∨ を考える. この σ が {n1 , · · · , nd }
で生成されているとすると, S(σ) = {m ∈ M ; < m, ni >≥ 0, i = 1, · · · , d} である.
定義 10. S(σ) による半群環を C[S(σ)] とする. C[S(σ)] を座標環とするアフィン代数多様体 V を錐体 σ に
よって定まるアフィントーリック多様体という. これを Uσ で表す.
定義 11. XC =
∪
σ∈X
Uσ と定義し, 扇 X から定まるトーリック多様体という.
定義 12. V をアフィン代数多様体とする. V が特異点を持たないとき, この V を非特異代数多様体という.
扇 X とトーリック多様体 XC について次の定理が得られる.
定理 13. X を有限扇としたとき, トーリック多様体 XC が非特異代数多様体になるための必要十分条件は扇
X が非特異扇であることである.
参考文献
[1] 石田正典, トーリック多様体入門-扇の代数幾何-, 朝倉書店, 2000
[2] 吉永悦男・福井敏純・泉脩藏, 特異点の数理 3, 解析関数と特異点, 共立出版, 2002
[3] 宮西正宜, 数学選書 10, 代数幾何学, 裳華房, 1990
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