連続性, コンパクト性, 位相空間

2W 数学演習 V・VI
標準 H005-1
担当教員 : 浜中真志研究室 : A327
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連続性, コンパクト性, 位相空間
作成日 : November 14, 2011 Updated : November 17, 2011
実施日 : November 18, 2011
連続写像
定義 1. (連続写像の ε − δ 論法的定義) 写像 f : Rn → Rm が点 a ∈ Rn において連
続であるとは次が成り立つことである.
∀
ε > 0, ∃ δ > 0, s.t. f (U (a, δ)) ⊂ U (f (a), ε)
定理 1. X = Rn , Y = Rm とおく．写像 f : X → Y が X の各点において連続で
あることと，次のおのおのは同値である．(cf. ボーナス問題)
・ Y の任意の開集合 O に対して f −1 (O) は開集合である．
・ Y の任意の閉集合 F に対して f −1 (F ) は閉集合である．
同値であるのでこちらを定義にすることができる. このように定義を抽象的に与えた恩
恵を以下でみる. (初等関数が連続関数であることは用いてよい.)
問題 1. R2 の部分集合 S = {(x, y) | x2 + y 2 = 1} が閉集合であることを示せ．
・ Rn 上の連続写像 f の零点集合 Sf = {x ∈ Rn | f (x) = 0} は超曲面と呼ばれる. Sf
が閉集合であることは上の問題と同様に示せる.
問題 2. f を X = Rn 上の連続関数とする．このグラフ Γf = {(x, y) ∈ X × R | y = f (x)}
は X = Rn+1 の閉集合であることを示せ.
問題 3. f : X → Y, g : Y → Z がともに連続写像ならば，g ◦ f も連続写像であることを
示せ.
定義 2. (線形代数群) M (n, R) を実数係数の n 次正方行列のなす集合とする. この
部分集合 GL(n, R), SL(n, R) をそれぞれ次で定義する.
GL(n, R) := {g ∈ M (n, R) | det g ̸= 0}
SL(n, R) := {g ∈ M (n, R) | det g = 1}
M (n, R) は成分を対応させることによって自然に Rn と 1 対 1 に対応させること
ができる．この対応によって M (n, R) 上に開集合を定義する.
2
問題 4. M (n, R) の部分集合 GL(n, R), SL(n, R) はそれぞれ Rn の開集合か閉集合か判定
せよ. (ヒント：det は R への連続写像であることを使う.)
2
標準 H0-2W11-05 難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科
2W 数学演習 V・VI
担当教員 : 浜中真志研究室 : A327
標準 H005-2
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Rn におけるコンパクト性
問題 5. Rn の部分集合 A が Rn の有界閉集合であるとき, コンパクトであるという. (Rn
の部分集合 A が有界であるとは, それが Rn のある開近傍 U (a, ε) に含まれるときをいう.)
(1) SL(2, R) は R4 の部分空間としてコンパクトではないことを示せ.
(2) 直行行列全体
SO(2)
:= {g ∈ M (2, R) }
| t gg = e, det g = 1} を考える. SO(2) =
{
(
)
a b
g=
| a, b ∈ R, det g = 1 と表されることを示せ. ここで SO(2) の
−b a
成分を対応させることによって SO(2) を R2 と同一視する. SO(2) は R2 の部分集合
としてコンパクトであることを示せ. (e は 2 次単位行列)
位相空間
定義 3. (位相空間) X の部分集合からなる集合を OX とおく. これが次の 3 つの
条件を満たしているとする．
(1) ϕ, X ∈ OX
(2) 任意有限個の OX に属する集合の共通部分はまた OX に属する．
(3) 任意個数 (有限または無限) の OX に属する集合の和集合はまた OX に属する．
このとき，OX に属する X の部分集合を開集合と呼ぶ．また OX を位相といい，X
は位相空間であるという．
x ∈ X を含む開集合を x の開近傍という. ユークリッド空間同様, 内点・触点・集積点
が以下のように定義される.
• a ∈ X が A(⊂ X) の内点であるとは, ある a の開近傍 U (a) が存在して U (a) ⊂ A.
• a ∈ X が A の触点であるとは, 任意の a の開近傍 U (a) に対して U (a) ∩ A ̸= ∅.
• a ∈ X が A の集積点であるとは, 任意の a の開近傍 U (a) に対して (U (a) − {a})∩A ̸=
∅.
問題 6. (N 点集合の位相)
(1) 2 点からなる集合 X = {1, 2} に入りうる位相 O を全て書き下せ. またそれらの位
相の強弱を議論せよ. (O1 , O2 が集合 X における 2 つの位相であって, O1 ⊂ O2 が
成り立つとき, 位相 O1 は O2 より弱い, 位相 O2 は O1 より強いという.)
(2) 3 点からなる集合 X = {1, 2, 3} に対して位相を導入しよう. O0 = {∅, {1, 2} , {2, 3} , X},
O1 = {∅, {1} , {2, 3} , X}, O2 = {∅, {2} , {1, 2} , {2, 3} , X}, とすると, (X, Oi ), i =
0, 1, 2 はそれぞれ位相空間であるか？
標準 H0-2W11-05 難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科
2W 数学演習 V・VI
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標準 H005-3
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(3) 4 点からなる集合 X = {1, 2, 3, 4} に, 位相の強弱関係のつく, 密着位相 (OX =
{∅, X}), 離散位相 (OX = 2X ) 以外の位相を２つ入れよ.
(4) 5 点からなる集合 X = {1, 2, 3, 4, 5} に対して O = {∅, {1} , {2} , {1, 2} , {2, 3} , {1, 2, 3} , X}
をすると, (X, O) は位相空間となる. このとき A = {1, 2, 4} の内部 A◦ , 閉包 Ā, 集積
点全体 (導集合) Ad を求めよ.
(5) 5 点からなる集合 X = {1, 2, 3, 4, 5} に対して O = {∅, {1} , {1, 3} , X} をすると,
(X, O) は位相空間となる. このとき A = {1, 2, 4, 5} であるときの A の X に関する
相対位相 Õ を求めよ. また位相空間 (A, Õ) における D = {2, 4} の閉包を求めよ.
(A ⊂ X のとき, A の X に関する相対位相は Õ = {O ∩ A | O ∈ OX }.)
(6) (2) の位相空間 (X, O1 ), (X, O2 ) に対し, 写像 f : (X, O1 ) → (X, O2 ) を f (1) =
1, f (2) = f (3) = 2 で定める. f は連続写像であるか？f (1) = f (2) = 2, f (3) = 3 の
場合はどうか？(連続写像の定義は定理 1 と同様)
今週の宿題 (提出期限は 11 月 25 日の演習開始時です)
問題 7. (複素積分ワンスモア) 原点中心, 半径 R の円の上半平面部分を CR とする. その
{
}
半円のパラメータ表示が CR = z ∈ C | z = Reiθ , 0 < θ < π であることを利用して, 以
下を示せ. (積分路の向きは反時計まわりとする)
∫
eiz
lim
dz = 0
R→∞ C z 1125
R
問題 8. 線形代数群 SU (2) := {g ∈ M (2, C) | g ∗ g = e, det g = 1} について以下の問いに
答えよ. (e は 2 次単位行列)
{
(
)
}
a b
(1) SU (2) = g =
| a, b ∈ C, det g = 1 と表されることを示せ.
−b̄ ā
(ヒント：g ∗ g = e より, g ∗ = g −1 となることに注意.)
(2) (1) の表記に対して SU (2) の成分を対応させることによって SU (2) を R4 と同一視
する. SU (2) は R4 の部分空間としてコンパクトであることを示せ.
今週のボーナス問題 (提出期限は 11 月 25 日の演習開始時です)
問題 9. X = Rn , Y = Rm とおく．(必要であれば距離はユークリッド距離とする.)
(1) 写像 f : X → Y が X の各点において連続であれば, Y の任意の開集合 O に対し
て f −1 (O) は開集合であることを示せ．
(2) Y の任意の開集合 O に対して f −1 (O) が開集合であれば, 写像 f : X → Y は X の
各点において連続であることを示せ.
標準 H0-2W11-05 難易度 : C
名古屋大学・理学部・数理学科

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