応用数学特論 IV 補足プリント３このプリントを通し, [a, b] を与えられた閉区間 (−∞ < a < b < ∞) とする. 1 積分におけるヘルダー (H¨ older) の不等式この節では, 次の不等式の証明を与える. ヘルダーの不等式 ( )  1 1 p q    • 1 < p, q < ∞, p + q = 1 q = p − 1 , p = q − 1    • x = x(t) ∈ Lp [a, b], y = y(t) ∈ Lq [a, b], ∫ (∫ b b |x(t)y(t)| dt ≤ =⇒ )1/q )1/p (∫ b q |y(t)| dt . |x(t)| dt p a a a (1) 証明簡単のため, (∫ b ∥x∥p = )1/q )1/p (∫ b q |y(t)| dt |x(t)| dt , ∥y∥q = p a a と表記する. 証明は次の 2 つの場合に分けて行う. (Case 1) ∥x∥p ̸= 0 and ∥y∥q ̸= 0 である場合. ヤングの不等式から, |x(t)y(t)| 1 1 p ≤ |y(t)|q (a.e. t ∈ [a, b]). p |x(t)| + ∥x∥p ∥y∥q p∥x∥p q∥y∥qq 両辺を区間 [a, b] 上で積分すると 1 ∥x∥p ∥y∥q ∫ b a ∫ b ∫ b 1 1 p |x(t)y(t)| dt ≤ |x(t)| dt + |y(t)|q dt p∥x∥pp a q∥y∥qq a 1 1 = + = 1. p q したがって, ∫ (∫ b b |x(t)y(t)| dt ≤ ∥x∥p ∥y∥q = a )1/p (∫ b )1/q q |x(t)| dt |y(t)| dt . p a 1 a (2) (Case 2) ∥x∥p = 0 or ∥y∥q = 0 である場合. 仮に ∥x∥p = 0 とすると, ∫ 0≤ b |x(t)|p dt = ∥x∥pp = 0 ⇐⇒ x(t) = 0, (a.e. t ∈ [a, b]). a したがって, ∫ ∫ b b 0 · |y(t)| dt = 0 = ∥x∥p ∥y∥q |x(t)y(t)| dt = a a (∫ b )1/p (∫ b )1/q q |x(t)| dt |y(t)| dt . p = a a 一方, ∥y∥q = 0 のときも上記と同様の手法で証明できる. 2 積分におけるミンコフスキー (Minkowski) の不等式ミンコフスキーの不等式 1 ≤ p < ∞, x = x(t), y = y(t) ∈ Lp [a, b] (∫ b )1/p (∫ b )1/p (∫ b )1/p p p |x(t) + y(t)| dt ≤ |x(t)| dt + |y(t)| dt . p =⇒ a a a 証明証明は次の 2 つの場合に分けて行う. (Case 1) p = 1 である場合. 3 角不等式から, ∫ b ∫ b ∫ b ∫ b |x(t) + y(t)| dt ≤ (|x(t)| + |y(t)|) dt = |x(t)| dt + |y(t)| dt. a a a a これは, 不等式 (3) の p = 1 の場合に他ならない. (Case 2) p > 1 である場合. ∥x∥p = 0 (∥y∥p = 0) の場合は, x(t) = 0, a.e. t ∈ [a, b] (y(t) = 0, a.e. t ∈ [a, b]), となるので, 不等式 (3) は等式の形で得られる. p とするこれ以降, ∥x∥p = ̸ 0 and ∥y∥p = ̸ 0 と仮定し, q = p−1 2 ( ) 1 1 + =1 . p q (3) 3 角不等式から, ∫ b |x(t) + y(t)|p dt I = ∫ a b |x(t) + y(t)|p−1 |x(t) + y(t)| dt = ∫ a b ≤ |x(t) + y(t)|p−1 (|x(t)| + |y(t)|) dt a ∫ b ∫ b p/q |y(t)||x(t) + y(t)|p/q dt |x(t)||x(t) + y(t)| dt + = a a ここで, ヘルダーの不等式を用いると, (∫ b I ≤ )1/p (∫ b ( )q )1/q p/q dt |x(t)| dt |x(t) + y(t)| p a (∫ a b + (∫ = )1/p (∫ b ( )q )1/q p/q |y(t)| dt |x(t) + y(t)| dt p a b a )1/q ( ) p |x(t) + y(t)| dt ∥x∥p + ∥y∥p . a (∫ b )1/q |x(t) + y(t)| dt で割り算して整理すると, p 両辺を a (∫ b )−1/q )1/p (∫ b p |x(t) + y(t)| dt ≤ ∥x∥p + ∥y∥p |x(t) + y(t)| dt = I· p a a (∫ b )1/p )1/p (∫ b p |y(t)| dt . |x(t)| dt + p = a a 3