§4 105 分数冪微分と微分の対数 数や γ の知識は分数冪微積の研究に欠かせないが未解決問題も多い．特に γ は e や π 同様 整数係数の代数方程式の根にならない超越数と思われている が，未だに有理数か無理数かさえわかっていない．数学での重要な未解決問 題の一つである． 4 分数冪微分と微分の対数 1. 定義 1 a > 0 とする． I a f (x) = 1 Γ(a) x (x − t)a−1 f (t)dt (4.1) 0 を f (x) の（原点 0 からの）a 階の不定積分という． f (x) は x > 0 で定義され，そこで連続とする．x ≤ 0 の場合の定義は後で 述べる．また，c からの a 階不定積分 Ica f (x) = 1 Γ(a) x (x−t)a−1 f (t)dt c も定 義できるが，以下では使わない． 〔例〕 f (x) = xc であれば t = ux, 0 ≤ u ≤ 1, と変数変換して I a xc = 1 Γ(a) x (x − t)a−1 tc dt = 0 xa+c Γ(a) 1 (1 − u)a−1 uc du 0 となるから，c+1, a+c+1 が負の整数でなければ I a xc = Γ(c+1) a+c x Γ(a+c+1) (4.2) である． 命題 2 分数冪不定積分は関数の和と（複素） 数によるスカラー積に関して線 形で，次のことが成り立つ． 1. I a I b = I a+b : f が連続なら I a (I b f ) = I a+b f .
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