ファイナンスのための数学基礎第1回レポート解説

ファイナンスのための数学基礎第１回レポート解説
担当：楠美将彦 e-mail:[email protected]
問題 1.1 プロジェクトＡはこれから 10 年間に年末ごとに 3 億円、プロジェクトＢはこれから 5 年間
に年末ごとに 6 億円利益が出ることがわかっているとする。割引率が年 5 ％ならば、現在価値で評価
するとどちらが何億円大きいだろうか。
（ただし、単純な N P V の計算とし、答えは小数点以下第 2 位
まで求めてみよう。）
解答 1.1
プロジェクトＡ：1 年目の年末の利益の現在価値を第 1 項、公比
える。
初項 1 − 公比項数
=
1 − 公比
3
1.05
1
1.05
1
1−
1.05
1−
初項 1 − 公比項数
=
1 − 公比
1
1.05
1
1−
1.05
10 として考
10
= 23.17（億円）
プロジェクトＢ：1 年目の年末の利益の現在価値を第 1 項、公比
6
1.05
1
1.05 、項数
1
1.05 、項数
5 として考える。
5
1−
= 25.98（億円）
したがって、プロジェクトＢの方が 2.81 億円大きな価値がある。
問題 1.2 今、100 万円を 2 カ所に 10 年間預ける。金融機関Ｃは名目利子率が年 5 ％の連続複利体系
を採用している。金融機関Ｄは名目利子率が年 5.1 ％の年 2 回の複利体系を採用している。10 年後に
どちらの金融機関の残高が何万円多いだろうか。
（小数点以下第 4 位まで求めてみよう。）
解答 1.2
Ｃ：連続複利のケース
100 × e0.05×10 = 100 × e0.5 ∼
= 164.8721
Ｄ：年 2 回のケース
100 × 1 +
0.051
2
2×10
= 100 × (1.0255)20 ∼
= 165.4677
したがって、年 2 回の複利体系の金融機関Ｄが 165.4677 − 164.8721 = 0.5956（万円）だけ多い。
（ちなみに、Ｄが年 5.0 ％の年 2 回複利なら、およそ 163.8616 万円である。）
問題 1.3 今、200 万円を借り入れた。毎年末 20 万円ずつ支払うとすると、10 年後の残高は何万円か
（小数点以下第 2 位まで求めてみよう）
。
また、残高が 0 になるのは何年目か。整数で答えなさい。ただし、利子率の水準は、固定で年 5 ％と
する。
解答 1.3
1 年末 y1
= 200 × 1.05 − 20 = 190
2 年末 y2
= y1 × 1.05 − 20
1
x = 1.05x − 20
, −0.05x = −20
, x = 400
an+1 − 400
=
1.05(an − 400)
an − 400
=
(a1 − 400) × 1.05n−1
an
=
(190 − 400) × 1.05n−1 + 400
an
=
400 − 210 × 1.05n−1
a10
=
400 − 210 × 1.0510−1 ∼
= 74.22
以上の結果から、10 年後の残高は 74.22 万円である。また、残高が 0 円になる時点を求めるには、
an = 0 を代入した以下の式を解くと良い。
an
= 400 − 210 × 1.05n−1
0
= 400 − 210 × 1.05n−1
400
=
210
400
= ln
210
400
= ln
÷ ln 1.05
210
∼
= 14.20
1.05n−1
(n − 1) ln 1.05
n−1
n
したがって、整数ならば 15 年で残高が 0 になる。
問題 1.4 今、ある企業の利益（ y ）が次の式で表されるとする。ただし、x, z はそれぞれ市場動向を
示すパラメータであるとする。このとき、x = 1, z = 2 で評価すると各パラメータの変化が利益にど
のように影響するのかを式で表しなさい。
（次の式を全微分しなさい。）
y = f (x, z) = 3x3 + 4x2 z + 2z 3
解答 1.4
∂y
= 9x2 + 8xz
∂x
dy =
,
∂y
= 4x2 + 6z 2
∂z
∂y
∂y
dx +
dz = (9x2 + 8xz)dx + (4x2 + 6z 2 )dz
∂x
∂z
この式に、x = 1, z = 2 を代入する。
dy|x=1,z=2 = (9 + 16)dx + (4 + 24)dz = 25dx + 28dz
問題 1.5 株価（ y ）と為替レート（ x ）が次の関係で表されることがわかっているとする。為替レート
dy
を求めなさい。）
の変化に対する株価の変化を求めなさい。
（次の関数の
dx
f (x, y) = 4y 3 + 3x2 + 2y + 3xy + 1 = 0
2
解答 1.5
陰関数定理を利用すると次のように解ける。
∂f (x, y)
= 6x + 3y,
∂x
∂f (x, y)
= 12y 2 + 2 + 3x
∂y
6x + 3y
dy
=−
dx
12y 2 + 2 + 3x
問題 1.6
u(x, y) = x6 y 3 は同次関数かどうか確認しなさい。同次関数ならば、何次同次ですか。
解答 1.6
オイラーの定理を適用してみる。
∂u(x, y)
∂u(x, y)
x+
y
∂x
∂y
=
6x5 y 3 × x + 3x6 y 2 × y =
6x6 y 3 + 3x6 y 3 = 9x6 y 3 = 9 × u(x, y)
よって、9 次同次関数である。
問題 1.7 次の式を x = 1 の周りで 2 次導関数までテイラー展開しなさい。
y = (4x − 3)6
解答 1.7
y = f (x) と置き、微分する。
df (x)
= 6 × (4x − 3)5 × 4 = 24(4x − 3)5
dx
d2 f (x)
= 24 × 5 × (4x − 3)4 × 4 = 480(4x − 3)4
dx2
次の各項の値を求める。
f (1) = 1
,
df (1)
= 24
dx
,
d2 f (1)
= 480
dx2
以上の予備計算から、テイラー展開をした式は以下のようになる。
f (x) =
1 df (1)
1 d2 f (1)
1
480
f (1) +
(x − 1) +
(x − 1)2
(x − 1)2 = 1 + 24(x − 1) +
2
0!
1! dx
2! dx
2
問題 1.8 ある企業の利益関数が P = −x3 + 3x2 + 24x + 30 と表されるとする。この企業の利益を極
大にする生産量はいくらだろうか。ただし、P は利益、x は生産量を表す。
解答 1.8
dP
= −3x2 + 6x + 24 = −3(x2 − 2x − 8) = −3(x + 2)(x − 4)
dx
[−6x + 6]|x=−2
d2 P
= −6x + 6
dx2
= 18 > 0
[−6x + 6]|x=4 = −18 < 0
したがって、x = −2, x = 4 の時に極値をとり、2 階の条件を確かめると、x = 4 の時に利益が極大
（ P = 110 ）になる。
3
3
1
問題 1.9 今、ある人の効用関数 u = x 4 y 4 がわかっているとき、効用最大化の消費の組み合わせ (x, y)
を求めなさい。
ただし、それぞれの財の価格は x は 5 円、y は 10 円とし、予算が 2000 円であるとする。
解答 1.9
ラクランジュ関数を作り、各変数で偏微分したものを = 0 と置く。
3
1
L = x 4 y 4 + λ(2000 − 5x − 10y)
∂L
3 1 1
= x− 4 y 4 − 5λ = 0
(1)
∂x
4
∂L
1 3
3
= x 4 y − 4 − 10λ = 0
(2)
∂y
4
∂L
= 2000 − 5x − 10y = 0
(3)
∂λ
以上の 3 つの式を解くと、効用最大化をする組み合わせがわかる。
まず、(1) 式と (2) 式をともに、= 40λ の式にして、等式にする。
1
1
=
x 4 y− 4
6x− 4 y 4 × x 4 y 4
1
3
=
x 4 y− 4 × x 4 y 4
6y
=
x
6x− 4 y 4
1
3
3
3
3
3
ここで、両辺に x 4 y 4 を掛ける。
1
1
1
3
この結果を (3) 式に代入すると、答えは、x = 300 , y = 50 ( u = 191.6829 , λ = 0.09584 ) となる。
問題 1.10 次の不等式制約下の最適化問題を解きなさい。ただし、1 階の条件までの確認でよい。
0.5
max x0.5
1 x2
x1 ,x2
解答 1.10
s.t. x1 + 3x2 ≤ 24 ,
x1 + x2 ≤ 10
まず、ラグランジュ関数を作る。
0.5
L = x0.5
1 x2 + λ1 (24 − x1 − 3x2 ) + λ2 (10 − x1 − x2 )
各変数の 1 階の導関数を求めると以下のようになる。
∂L
∂x1
∂L
∂x2
=
0.5x1−0.5 x0.5
2 − λ1 − λ2 = 0 (1)
=
−0.5
0.5x0.5
− 3λ1 − λ2 = 0 (2)
1 x2
各 λ についての条件を見ると以下のようになる。
∂L
∂λ1
∂L
λ1
∂λ1
∂L
∂λ2
∂L
λ2
∂λ2
=
24 − x1 − 3x2 ≥ 0 (3)
=
λ1 × (24 − x1 − 3x2 ) = 0 (4)
=
10 − x1 − x2 ≥ 0 (6)
=
λ2 × (10 − x1 − x2 ) = 0 (7)
4
λ1 ≥ 0 (5)
λ2 ≥ 0 (8)
まず、(4) の式と (7) の式から 4 通りの解を考えることができる。これらを順に確認していく。
（その 1 ） λ1 = 0 , λ2 = 0
この場合、(1) 、(2) の式から x1 = 0 (x2 ≤ 8) もしくは x2 = 0 (x1 ≤ 10) となる。
（その 2 ） λ1 = 0 , 10 − x1 − x2 = 0
この場合、(1) 、(2) の式から x1 = x2 となる。また、これらの結果を条件式（ 10 − x1 − x2 = 0 ）に
代入すると、x1 = x2 = 5 となる。
（その 3 ） 24 − x1 − 3x2 = 0 , λ2 = 0
この場合、(1) 、(2) の式から x1 = 3x2 となる。また、これらの結果を条件式（ 24 − x1 − 3x2 = 0 ）
に代入すると、x1 = 12, x2 = 4 となる。
しかし、(6) の式を満たさないので、解の候補から外れる。
（その 4 ） 24 − x1 − 3x2 = 0 , 10 − x1 − x2 = 0
この場合、2 つの条件式から x1 = 3, x2 = 7 となる。
（条件から詳細な計算をすると、λ1 ∼
= −0.2182 , λ2 ∼
= 0.9820 となり、(5) 式を満たさないので解の
候補から外れる。）
以上の解の候補を目的関数に代入すると、最大値となるのは（その 2 ）x1 = 5, x2 = 5 の場合である。
5

Download Report