数学解析 II 宿題５ 2014 後、担当：梅原、電シ（水 1-2）、電物（水 3-4）[05] マルせよ→（電シ・電物）学籍番号氏名注意事項 1. この用紙を用いること。講義 web ページ（http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/umehara/lecture2014 2.html）からプリントアウトしてもよい。その場合, A4 で両面印刷にすること。紙を付け足す場合も A4 用紙を用いること。指定を守らない物は原則として受け取らない。 2. 略解（解説）を講義 web ページに掲載します。独力で解いたあと、略解を見て自分で添削を済ませること。添削の際は、自分なりの学習の跡を残すことが大切です。また、質問を書き込んでもよいです。 3. 今回の宿題の提出期限は問1 2014 年 11 月 10 日（月）13:00 とします。提出先：A209 のポスト問2 次のそれぞれの関数の, 与えられた点にお 2 ける全微分と, そこでの接平面の方程式を求めよ. (1) z = f (x, y) = 3x2 y + xy 4 (2) z = f (x, y) = x x+y , 次のそれぞれの関数の全微分を求めよ. (1) z = f (x, y) = ex +y 2 (2) z = f (x, y) = sin−1 (xy 2 ) (2, −1, −10) (1, −2, −1) ※単に「全微分を求めよ」と言われたら,「点 (x, y) における全微分を求めよ」と解釈して下さい. [解答例（解説） ] (1) fx = 6xy+y 4 , fy = 3x2 +4xy 3 より, (x, y) = (2, −1) での全微分は, [解答例（解説）] (1) 偏微分すると, dz = fx (2, −1) dx + fy (2, −1) dy 2 +y 2 2 2 fx = ex = −11 dx + 4 dy fy = ex である. また, 点 (2, −1, −10) における接平面の方 +y 2 +y 2 2 2 (x2 + y 2 )x = 2xex (x2 + y 2 )y = 2yex +y , なので, 程式は, dz = fx dx + fy dy z − (−10) = −11(x − 2) + 4{y − (−1)} ∴ z = −11x + 4y + 16 = 2xex 2 +y 2 x2 +y 2 = 2e (2) fx = y (x+y)2 , x fy = − (x+y) 2 v より, (x, y) = dx + 2yex 2 +y 2 dy (x dx + y dy) (2) 偏微分すると, (1, −2) での全微分は, (xy 2 )x y2 zx = √ , =√ 1 − (xy 2 )2 1 − x2 y 4 dz = fx (1, −2) dx + fy (1, −2) dy = −2 dx − dy zy = √ である. また, 点 (1, −2, −1) における接平面の方程式は, (xy 2 )y 1− (xy 2 )2 2xy =√ 1 − x2 y 4 なので, z − (−1) = −2(x − 1) − {y − (−2)} ∴ z = −2x − y − 1 (終わり) dz = zx dx + zy dy y (y dx + 2x dy) =√ 1 − x2 y 4 (終わり) あああああああああああああああああああああああ 1 問3 問4 f を C 3 級の関数とする. また, f は調和関数であるとする. このとき, 次の数の近似値を, 全微分を用いて求めよ. 2.013 × 1.984 g = xfx + yfy [ヒント] f (x, y) = x3 y 4 とおくと, この値は, も調和関数になることを示せ. f (2 + 0.01, 2 − 0.02) と表せる. ∆z = f (2 + 0.01, 2 − 0.02) − f (2, 2) とおいて, ∆z を全微分で近似せよ. なお, 教科書の例題 4.3.4 (p99) をあわせて学習しておくこと. [解答例（解説）] f は C 3 級なので, 3 階の偏微分までは微分の順序をどんなふうに交換しても良いことに注意する (例えば, fxxy = fxyx など). また, f は調和関数なので, △f = fxx + fyy = 0 が恒等的に成り立っている. 以上の仮定のもと, 目標は, gxx + gyy = 0 を示すことである. さて, 積の微分 [解答例（解説）] z = f (x, y) = x3 y 4 とおく. 偏微分して, fx = 3x2 y 4 , fy = 4x3 y 3 と求めておく. ∆x = 0.01, ∆y = −0.02 とおいて, に注意すると, ∆z = f (2 + ∆x, 2 + ∆y) − f (2, 2) gx = (xfx + yfy )x を考える. ∆z は, 全微分により, = x′ fx + x(fx )x + y(fy )x ∆z ; fx (2, 2)∆x + fy (2, 2)∆y = fx + xfxx + yfyx と近似できるから, となる. さらに x で偏微分して, f (2 + 0.01, 2 − 0.02) − f (2, 2) ; fx (2, 2) · 0.01 + fy (2, 2) · (−0.02) gxx = (fx + xfxx + yfyx )x = fxx + x′ fxx + xfxxx + yfyxx = 3 · 22 · 24 · 0.01 + 4 · 23 · 23 · (−0.02) = 2fxx + xfxxx + yfyxx = −3.20, を得る. 同様にして, となる. よって, f (2 + 0.01, 2 − 0.02) ; f (2, 2) − 3.20 = 27 − 3.20 = 128 − 3.20 = 124.80 gyy = 2fyy + yfyyy + xfxyy が得られる. よって, gxx + gyy となる. (電卓で求めて比較せよ) (終わり) = 2(fxx + fyy ) + x(fxxx + fxyy ) + y(fyxx + fyyy ) あ = 2△f + x(fxx + fyy )x + y(fxx + fyy )y あ = 2△f + x(△f )x + y(△f )y ああとなる. ここで, 仮定により恒等的に △f = 0 があ成り立っているから, (△f )x と (△f )y も恒等的にあ 0 である. よって, あ gxx + gyy = 2 · 0 + x · 0 + y · 0 = 0 ああが恒等的に成り立つから, g は調和関数である. あ (終わり) ああああああああ —– 通信欄（授業や宿題に関して何かあれば） —— ああああああああああああああ 2