5 ベクトル値関数の積分

神戸大学海事科学部 2014 年度後期応用数学 4 講義ノート
5 ベクトル値関数の積分
5.1 不定積分
ベクトル値関数 D(u) の導関数が A(u) のとき，すなわち，
定積分といい，
∫
D(u) =
dD
(u) = A(u) のとき，D(u) を A(u) の不
du
A(u)du
と表す．C を任意の定ベクトルとすると，D(u) + C も A(u) の不定積分である．A(u) = Ax (u)i + Ay (u)j +
Az (u)k のとき，
(∫
∫
A(u)du =
)
(∫
)
(∫
)
Ax (u)du i +
Ay (u)du j +
Az (u)du k
となる．
例 1. A(u) = (2u + 1)i + (3u2 + 2)j + 2k とする．
(∫
∫
A(u)du =
)
(∫
)
(∫
)
(2u + 1)du i +
(3u2 + 2)du j +
2du k
= (u2 + u + c1 )i + (u3 + 2u + c2 )j + (2u + c3 )k
= (u2 + u)i + (u3 + 2u)j + 2uk + C.
ここで，C = c1 i + c2 j + c3 k は任意の定ベクトル．
5.2 定積分
区間 [a, b] で連続なベクトル値関数 A(u) を考える．[a, b] の分割 a = u0 < u1 < u2 < · · · < un = b に対
し，△ui = ui − ui−1 ，|△| = max{△ui |i = 1, . . . , n } とおく．|△| は分割の最大幅を表す．
•
•
a = u0 u1
• •
u2
•
•
···
•
un = b
また，[ui−1 , ui ] から任意に一点 u′i (i = 1, . . . , n) を選んでおく．そして，
Sn =
n
∑
A(u′i )△ui ,
i=1
= A(u′1 )△u1 + A(u′2 )△u2 + · · · + A(u′n )△un
とおく．そして |△| → 0 としたときの S n の極限を考え，この極限を
∫
S = n→∞
lim S n =
|△|→0
と書き，u = a から u = b までの A(u) の定積分という．
1
b
A(u)du
a
x
注意 5.1.
lim S n は，分割の最大幅 |△| が 0 に収束するように分割数 n を増やして n → ∞ とするときの
n→∞
|△|→0
極限である．つまり下の図のような分割の増やし方は除かれる．
•
•• •• •• •
u1 · · ·
u0
un
先ほどと同様に，成分表示を行うと
∫
(∫
b
)
b
A(u)du =
(∫
Ax (u)du i +
a
)
b
(∫
Ay (u)du j +
a
)
b
Az (u)du k
a
a
となる．
例 2. A(u) = i + j + k とおく．
∫
(∫
b
)
b
A(u)du =
(∫
1du i +
a
)
b
(∫
1du j +
a
)
b
1du k
a
a
= (b − a)i + (b − a)j + (b − a)k.
スカラー値関数のときと同様に，次の微積分の基本定理が成立する．
命題 5.2. A(u) を連続なベクトル値関数，D(u) を A(u) の不定積分とすると，
∫
b
A(u)du = D(b) − D(a)
a
が成立する．
証明. 区間 [a, b] の任意の分割 a = u0 < u1 < · · · < un = b を取り，△D i = D(ui ) − D(ui−1 ) とおく．
D(ui−1 )
D(ui )
•
•
•
•
•
•
•
D(b)
•
D(a)
•
O
•••
•
a = u0 ui−1
このとき，
n
∑
i=1
△D i =
n
∑
•
ui
•
•
•
•
•
•
un b
(D(ui ) − D(ui−1 )) = D(b) − D(a)
i=1
dD
(u) = A(u) より，△ui → 0 の極限では
du
A(ui )△ui ≈ △D i が成立する（より正確には，△D i = A(ui )△ui + o(△ui ) が成立する．ここで，o はラン
が成立する（右辺は分割の取り方に独立なことに注意）．一方，
2
ダウの記号）
．従って，
lim
n→∞
n
∑
|△|→0 i=1
△D i = n→∞
lim
n
∑
∫
b
A(ui )△ui =
を得る．これで
A(u)du
a
|△|→0 i=1
∫
D(b) − D(a) =
b
A(u)du
a
が示された．
注意 5.3. 上の命題の証明は，成分表示を用いて，スカラー値関数に対する微積分の基本定理
∫
∫
b
Ax (u)du = Dx (b) − Dx (a),
a
∫
b
Ay (u)du = Dy (b) − Dy (a),
a
Az (u)du = Dz (b) − Dz (a)
a
から導いてもよい．
3
b

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