(2) lim - SUUGAKU.JP

1
a; b; p は a > 0，b > 0，p < 0 を満たす実数とする．座標平面上の 2 曲線
C1 : y = ex ;
y2
x2
+
=1
a2
b2
C2 :
を考える．ただし，e は自然対数の底である．C1 と C2 が点 (p; ep ) を共有し，その点における C1 の接線
と C2 の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1) p を a を用いて表せ．
(2) lim (p + a) を求めよ．
a!1
(3) lim
a!1
b2 e2a
を求めよ．
a
（広島大学 2015 ）
2
n を正の整数とする．2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼ の範囲で関数 f(x) = x sin x を考える．関数 f(x) が極大値
をとる x を an とし，曲線 y = f(x) の変曲点を (bn ; f(bn )) とする．次の問いに答えよ．
(1) an と bn はそれぞれ唯 1 つあって，2n¼ < bn < 2n¼ +
¼
< an < (2n + 1)¼ を満たすことを示せ．
2
(2) 以下の極限を求めよ．
(1) lim (an ¡ 2n¼)
(2) lim (bn ¡ 2n¼)
n!1
n!1
(3) lim f(bn )
n!1
(3) 曲線 y = f(x) (2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼) と x 軸とで囲まれた図形を，3 つの直線 x = bn ，x =
¼
，x = an によって 4 つの部分に分ける．その面積を左から順に S1 ，S2 ，S3 ，S4 とするとき，
2n¼ +
2
(S3 + S4 ) ¡ (S1 + S2 ) の値を求めよ．
(4) 以下の極限を求めよ．
(1) lim S1
(2) lim S3
n!1
n!1
(3) lim (S4 ¡ S2 )
n!1
（旭川医科大学 2015 ）
3
2
2
2
曲線 y = e¡x 上の 3 点 P(0; 1)，Q(t; e¡t )，R(¡t; e¡t ) を通る円を C とする．円 C の半径 r を t の
関数とみて r(t) と表すと，r(t) =
である．また，極限 lim r(t) の値は
である．ただし，
t!0
e は自然対数の底とする．
（福岡大学 2015 ）
4
次の問いに答えよ．
(1) r を r < 1 である実数とする．自然数 n に対して
Sn = 1 + 2r + 3r2 + Ý + nrn¡1
とおく．
S = lim Sn
n!1
を r の式で表せ．ただし r < 1 のとき lim nrn = 0 であることを用いてよい．
n!1
(2) n を自然数とする．2 人の弓道部員 A，B が矢を的に命中させる確率は，A が
4
1
，B が
である．A，B
5
2
が的に向かってそれぞれ n 回ずつ矢を射る．
‘ n = 1 のとき，A の射る矢が命中する確率を p1 とし，A の射る矢が命中せずに B の射る矢が命中す
る確率を q1 とする．p1 + q1 を求めよ．
’ n = 2 のとき，1 回目から (n ¡ 1) 回目まで A の射る矢も B の射る矢も命中せず，n 回目に A の射る
矢が命中する確率を pn とする．pn を求めよ．
“ n = 2 のとき，A の射る矢は 1 回目から n 回目まで命中せず，B の射る矢は 1 回目から (n ¡ 1) 回目ま
で命中せずに n 回目のみ命中する確率を qn とする．qn を求めよ．
(3) (2) で求めた pn (n = 1; 2; 3; Ý) に対して
E=
1
P
(2n ¡ 1)pn
n=1
とおく．E の値を求めよ．
（東京農工大学 2015 ）

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