1 a; b; p は a > 0,b > 0,p < 0 を満たす実数とする.座標平面上の 2 曲線 C1 : y = ex ; y2 x2 + =1 a2 b2 C2 : を考える.ただし,e は自然対数の底である.C1 と C2 が点 (p; ep ) を共有し,その点における C1 の接線 と C2 の接線が一致するとき,次の問いに答えよ. (1) p を a を用いて表せ. (2) lim (p + a) を求めよ. a!1 (3) lim a!1 b2 e2a を求めよ. a ( 広島大学 2015 ) 2 n を正の整数とする.2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼ の範囲で関数 f(x) = x sin x を考える.関数 f(x) が極大値 をとる x を an とし,曲線 y = f(x) の変曲点を (bn ; f(bn )) とする.次の問いに答えよ. (1) an と bn はそれぞれ唯 1 つあって,2n¼ < bn < 2n¼ + ¼ < an < (2n + 1)¼ を満たすことを示せ. 2 (2) 以下の極限を求めよ. (1) lim (an ¡ 2n¼) (2) lim (bn ¡ 2n¼) n!1 n!1 (3) lim f(bn ) n!1 (3) 曲線 y = f(x) (2n¼ 5 x 5 (2n + 1)¼) と x 軸とで囲まれた図形を,3 つの直線 x = bn ,x = ¼ ,x = an によって 4 つの部分に分ける.その面積を左から順に S1 ,S2 ,S3 ,S4 とするとき, 2n¼ + 2 (S3 + S4 ) ¡ (S1 + S2 ) の値を求めよ. (4) 以下の極限を求めよ. (1) lim S1 (2) lim S3 n!1 n!1 (3) lim (S4 ¡ S2 ) n!1 ( 旭川医科大学 2015 ) 3 2 2 2 曲線 y = e¡x 上の 3 点 P(0; 1),Q(t; e¡t ),R(¡t; e¡t ) を通る円を C とする.円 C の半径 r を t の 関数とみて r(t) と表すと,r(t) = である.また,極限 lim r(t) の値は である.ただし , t!0 e は自然対数の底とする. ( 福岡大学 2015 ) 4 次の問いに答えよ. (1) r を r < 1 である実数とする.自然数 n に対して Sn = 1 + 2r + 3r2 + Ý + nrn¡1 とおく. S = lim Sn n!1 を r の式で表せ.ただし r < 1 のとき lim nrn = 0 であることを用いてよい. n!1 (2) n を自然数とする.2 人の弓道部員 A,B が矢を的に命中させる確率は,A が 4 1 ,B が である.A,B 5 2 が的に向かってそれぞれ n 回ずつ矢を射る. ‘ n = 1 のとき,A の射る矢が命中する確率を p1 とし ,A の射る矢が命中せずに B の射る矢が命中す る確率を q1 とする.p1 + q1 を求めよ. ’ n = 2 のとき,1 回目から (n ¡ 1) 回目まで A の射る矢も B の射る矢も命中せず,n 回目に A の射る 矢が命中する確率を pn とする.pn を求めよ. “ n = 2 のとき,A の射る矢は 1 回目から n 回目まで命中せず,B の射る矢は 1 回目から (n ¡ 1) 回目ま で命中せずに n 回目のみ命中する確率を qn とする.qn を求めよ. (3) (2) で求めた pn (n = 1; 2; 3; Ý) に対して E= 1 P (2n ¡ 1)pn n=1 とおく.E の値を求めよ. ( 東京農工大学 2015 )
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