ª º ª º ª º

　今回の問題は【慶應義塾大学】のかなり古い入試問題［解答］
から出題しました．
(1) 複素数平面上で原点を O とし，3 点 A,P,Q を表す
それでは，まず問題の確認です．
複素数を a（a > 0）,z,w とする．
問題
Q が鏡像の関係にあるとは，3 点 A,P,Q が A を端点と
平面上の 2 点 P,Q が中心 O, 半径 r の円 C に関して
する半直線上にあって，AP・AQ = a2 を満たすことである．
鏡像の関係にあるというのは ,3 点 O,P,Q が O を端
AP・AQ = a2 であるから，
問題にある鏡像の定義より，円 Ca に関して，点 P と点
点とする半直線上にあって，OP・OQ = r2 を満たすこと
2
z -α ⋅ w -α = α - w -α =
をいう．
(1)　a が正の数のとき , 複素数平面上で中心 a，半径
L
L
a の円を Ca とする．円 Ca に関して点 z と鏡像の関係
AP と同じ向きの単位ベクトル
にある点を w とする．w = fa(z) とするとき ,fa(z) を
α2
である．
z -α
AP
L
求めよ .
(2)　a がすべての正の数を動くとき，fa(i) の描く曲線
L
z -α
であるから， AQ を表す複素数は，a が正の数
z -α
を求めよ．
なので，実数であることに注意して，
w -α = w -α ⋅
平面上の 2 点 P,Q が中心 O, 半径 r の円 C に関して
α 2 (z - α )
α2
z -α
=
=
2
z -α
z -α
z -α
となる．
鏡像の関係にあるというのは ,3 点 O,P,Q が O を端点
とする半直線上にあって，OP・OQ = r2 を満たすことを
よって， w =
いうのですが，一般的には鏡像というよりも，反転という
α2
αz
αz
+α =
- fα ( z) =
であ
z -α
z -α
z -α
る．
言葉で定義されます。どちらの言葉も鏡に映った像という
意味です．では，どんな鏡に映った像なのでしょうか．
(2) fα (i) =
それは , 中心 O, 半径 r の球面状の鏡です . この鏡に
おける点 P の像が点 Q になります . この空間図形を半直
α i (α - i) α + α 2 i
αi
-αi
=
=
= 2
α +1
α2 +1
i -α - i -α
であるから，fa(i) の実部を x，虚部を y として，
線 OP を含む平面で切った切り口の図形が反転（鏡像）を
x=
表す図形になります .
この反転（鏡像）という図形変換では，原点を除く平面
α
α2
y
=
,
となる．a がすべての正の数を動
α2 +1
α2 +1
くとき，α = tan
上のすべての点 P を点 Q に変換することができ，円また
は直線が円または直線に移されます . 点 P の軌跡が①原点
公式より， x =
を通るならば，点 Q の軌跡は直線になり，②原点（円 C
1
1
sin θ , y = (1 - cos θ ) となるので，
2
2
2
x > 0 で，x + y -
直線になるならば，点 Q の軌跡は原点を通り，④円にな
ª
るならば，点 Q の軌跡は原点を通らないという変換にな
ª0 < θ < π2 º とおき，2 倍角，半角の
θ
2
ª
の中心）を通らないならば，点 Q の軌跡は円になり，③
1
2
º = 14 となるから，点 (x , y) の軌跡は，
2
円の一部分 x + y -
ります。
円 C の半径を１として，単位円 C に関する反転を考え，
kzz + α z + α z + c = 0 （k,c は実数）（a は問題の a と
無関係）を点 z が満たすとき，変換 w = f ( z) =
を表す複素数は　AP
1
によっ
z
て点 w が満たす式は， cww + α w + α w + k = 0 となり，z
と w で k と c が入れ替わることから，簡単に説明できます．
それでは，問題を解いていきましょう．
1
2
1
2
º = 14 (x > 0) である．
2

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