数学Ⅰ「2次方程式」

数学Ⅰ「２次方程式」
１連続する 3 つの正の偶数を小さい順に並べた。3 つの数のうちの，最も小さい
数と最も大きい数の積が 96 となるとき，中央の数を求めよ。
３ 2 桁の自然数がある。十の位の数字と一の位の数字の和は 9 で，この両方の数
字を入れ替えてできる数ともとの数との積は 2430 になるという。このとき，も
との数を求めよ。
２連続した 3 つの正の偶数がある。その小さい方の 2 つの数の 2 乗の和は，最も
大きい数の 2 乗に等しい。この 3 つの数を求めよ。
４直角を挟む 2 辺の長さの差が 5 で，その面積が 18 の直角三角形がある。この 2
辺の長さを求めよ。
５ 1 辺の長さが 2.5 cm のひし形がある。その対角線の長さの差は 1 cm である。
ひし形の面積を求めよ。
数学Ⅰ「２次方程式」
１連続する 3 つの正の偶数を小さい順に並べた。3 つの数のうちの，最も小さい
数と最も大きい数の積が 96 となるとき，中央の数を求めよ。
３ 2 桁の自然数がある。十の位の数字と一の位の数字の和は 9 で，この両方の数
字を入れ替えてできる数ともとの数との積は 2430 になるという。このとき，も
５ 1 辺の長さが 2.5 cm のひし形がある。その対角線の長さの差は 1 cm である。
ひし形の面積を求めよ。
との数を求めよ。
解説
解説
求める中央の偶数を 2n (n は 2 以上の整数) とする。
解説
ひし形の対角線は直角に交わるので，図の斜線部分の三角
最も小さい偶数は 2n -2 ，最も大きい偶数は 2n +2 と表される。
もとの数の十の位を n とする。
形は直角三角形である。
2.5
その積は 0 2n -2 10 2n +2 1 =96
十の位の数字と一の位の数字の和は 9 であるから，もとの数の一の位は 9- n
展開して整理すると 4n 2=100
となる。
x +0.5
x
また，ひし形の面積はこの直角三角形の面積の 4 倍となる。
ひし形の対角線の長さの差が 1 であるから，斜線部分の直
n =25
よって，もとの数は 10n + 0 9- n1 である。
角三角形の直角を挟む 2 辺の長さは，それぞれ x，x +0.5
ゆえに n =$5
また，十の位と一の位を入れ替えた数は 100 9 -n1 + n であるので
とおける。
n は 2 以上の整数であるから n =5
条件より 6 10n + 0 9 - n 1 7 6 100 9 - n 1 +n 7 =2430
三平方の定理により x 2+ 0 x + 0.5 1 2= 2.5 2
したがって，求める数は 2% 5=10
整理すると n 2-9n -10=0
よって
2
2x 2 + x -6=0
よって 0 n -4 10 n -5 1 =0
ゆえに n =4, 5
x >0 であるからしたがって，もとの数は 45 または 54
0 x +2 10 2x -3 1 =0
3
x=
2
よって，斜線部分の面積は
1
1 3
3
1
3
=
x x +0.5 1 = ･･
+
2 0
2 2
2
2
2
8
9
3
したがって，ひし形の面積は % 4=6 cm2
2
２連続した 3 つの正の偶数がある。その小さい方の 2 つの数の 2 乗の和は，最も
４直角を挟む 2 辺の長さの差が 5 で，その面積が 18 の直角三角形がある。この 2
大きい数の 2 乗に等しい。この 3 つの数を求めよ。
辺の長さを求めよ。
解説
解説
3 つの数は n を正の偶数として n，n +2 ，n +4 とおける。
直角を挟む 2 辺のうち，短い方の長さを x とすると，
条件より n 2+ 0 n + 21 2 =0 n + 41 2
2
n -4n -12=0
0 n +21 0 n -61 =0
ゆえに n =-2 ，6
n は正の偶数であるから n =6
したがって，3 つの数は 6，8，10
面積 18
x +5
x 他方の長さは x +5 となる。
直角三角形の面積が 18 であるから
1
x0 x +5 1 =18
2
x 2+5x -36=0
ゆえに 0 x +9 10 x -4 1 =0
x >0 であるから x =4
このとき x +5=4+5=9
よって，2 辺の長さは 4 と 9 である。

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