第 2回 - 東邦大学

数理統計学演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 10 月 10 日出題
問題 1. P (F ) > 0 をみたす事象 F のもとでの条件付確率 PF は次の条件をみたすことを示せ.
(i) PF (Ω) = 1,
(ii) 任意の事象 E に対して 0 ≤ PF (E) ≤ 1,
(iii) 事象 E1 , E2 が E1 ∩ E2 = ∅ をみたすならば PF (E1 ∪ E2 ) = PF (E1 ) + PF (E2 ).
解答 (i) 条件付確率の定義より
PF (Ω) =
P (Ω ∩ F )
P (F )
=
= 1.
P (F )
P (F )
(ii) 事象 E に対し, P (E ∩ F ) ≥ 0, P (F ) > 0 より
PF (E) =
P (E ∩ F )
≥ 0.
P (F )
また, F = (E ∩ F ) ∪ (E C ∩ F ) で, (E ∩ F ) ∩ (E C ∩ F ) = ∅ であることから,
P (E ∩ F ) ≤ P (E ∩ F ) + P (E C ∩ F ) = P (F )
が成り立ち, よって
PF (E) =
P (E ∩ F )
≤1
P (F )
を得る.
(iii) E1 ∩ E2 = ∅ ならば (E1 ∩ F ) ∩ (E2 ∩ F ) = ∅ であるから
PF ((E1 ∩ F ) ∪ (E2 ∩ F )) = PF (E1 ∩ F ) + PF (E2 ∩ F ).
よって
P ((E1 ∪ E2 ) ∩ F )
P (F )
P ((E1 ∩ F ) ∪ (E2 ∩ F ))
=
P (F )
P (E1 ∩ F ) + P (E2 ∩ F )
=
P (F )
= PF (E1 ) + PF (E2 )
PF (E1 ∪ E2 ) =
が得られる.
∗
東京農工大学工学部非常勤講師, 東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
1
問題 2.
ある病気の試薬は, その病気を患っている人の 95% に対して陽性を示し, 病気を患っていない人の
5% にも陽性を示す. また, 試薬による検査を受けた人の 3% が病気を患っていることがわかっている. 検査を
受けた人の中からランダムに 1 人選んだところ, 検査結果は陽性を示していた. この人が実際に病気を患って
いる確率を求めよ.
解答
ランダムに選ばれた人が実際に病気を患っているという事象を A1 , 患っていない事象を A2 とし, 検査
により陽性を示す事象を B とすると, A1 と A2 は全事象 Ω の分割となっている. 求める確率は PB (A1 ) なの
で, ベイズの定理を用いると
PB (A1 ) = PΩ∩B (A1 )
=
P (A1 )PA1 (B)
.
P (A1 )PA1 (B) + P (A2 )PA2 (B)
ここで, P (A1 ) = 3/100, PA1 (B) = 95/100, P (A2 ) = 97/100, PA2 (B) = 5/100 より,
95
3
·
100
100
PB (A1 ) =
3
95
97
5
·
+
·
100 100 100 100
3 · 95
=
3 · 95 + 97 · 5
57
=
+ 0.3701.
154
問題 3. さいころを 2 回ふる試行において, 1 回目に偶数の目が出る事象を A とする. 事象 A と次のそれぞれ
の事象との独立性を調べよ.
(i) 目の数の合計が 8 になる事象 B,
(ii) 目の数の合計が 9 になる事象 C.
解答
標本空間を Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 5), (6, 6)} のようにあらわすことにする. P (A) = 3/6 = 1/2 で
あることは容易にわかる.
(i) B = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} であるから, P (B) = 5/36. また, A ∩ B = {(2, 6), (4, 4), (6, 2)}
より P (A ∩ B) = 3/36 = 1/12. よって,
P (A)P (B) =
5
1
1 5
·
=
6=
= P (A ∩ B)
2 36
72
12
となるので, A と B は独立でない.
(ii) C = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)} であるから, P (C) = 4/36 = 1/9. また, A ∩ C = {(4, 5), (6, 3)} より
P (A ∩ C) = 2/36 = 1/18. よって,
P (A)P (C) =
1
1 1
· =
= P (A ∩ B)
2 9
18
となるので, A と B は独立である.
2

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