2014/10/17(金) 19:40-21:10 数学演習第 19 回解答 (概要) 使用

2014/10/17(金) 19:40-21:10 数学演習第 19 回解答 (概要)
使用テキスト: 矢野健太郎, 石原繁「解析学概論 (新版)」(裳華房)
1. 複素変数 z = x + yi に対する三角関数および双曲線関数の定義にしたがって, 次の等式を証明せよ. [(1) 15 点, (2) 15 点]
(2) cosh2 z − sinh2 z = 1
(1) cos2 z + sin2 z = 1
証明 (概要) [p.158,161].
(1) 複素変数 z = x + yi に対する三角関数の定義より
( iz
)2 ( iz
)2
e + e−iz
e − e−iz
e2iz − 2 + e−2iz
1 1
e2iz + 2 + e−2iz
2
2
cos z + sin z =
+
=
+
= + = 1.
2
2i
4
−4
2 2
□
(2) 複素変数 z = x + yi に対する双曲線関数の定義より
(
( z
)2 ( z
)2
)
e − e−z
e2z + 2 + e−2z
e2z − 2 + e−2z
1
1
e + e−z
2
2
−
=
−
= − −
cosh z − sinh z =
= 1.
2
2
4
4
2
2
2. 複素変数 z = x + yi に対する三角関数の定義にしたがって, 方程式 sin z = 0 を満足する z をすべて求めよ.
□
[30 点]
解答 (概要) [p.163, 問題 3 (1)]. z = x + yi (x, y : 実数) とおく. このとき, 複素変数 z = x + yi に対する三角関数の定義より,
方程式 sin z = 0 は次の方程式に書き直される.
sin(x + yi) = 0, すなわち
ei(x+yi) − e−i(x+yi)
= 0.
2i
(∗)
ここで, (∗) 式の両辺を 2i 倍すると,
ei(x+yi) − e−i(x+yi) = 0
⇐⇒
e−y+xi − ey−xi = 0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1−e
= 0
2(y−xi)
e
= 1
2y−2xi
e
= 1
⇐⇒
e2y · e−2xi = 1,
2(y−xi)
(i(x + yi) = xi − y より)
(両辺に ey−xi をかける)
すなわち, e−2xi = cos(−2x) + i sin(−2x) = cos 2x − i sin 2x より, 方程式 e2y · e−2xi = 1 は次のように書き直される.
e2y (cos 2x − i sin 2x) = 1.
(∗∗)
次に, 方程式 (∗∗) をみたす実数 x, y を次の 2 つの方法により求める.
(i) 絶対値の比較による実数 y の導出 (∗∗) 式の絶対値を比較する. はじめに,
√
√
| cos 2x − i sin 2x| = (cos 2x)2 + (− sin 2x)2 = cos2 2x + sin2 2x = 1
より, |e2y (cos 2x − i sin 2x)| = |e2y || cos 2x − i sin 2x| = |e2y | = e2y (e2y > 0 に注意しよう). したがって,
|e2y (cos 2x − i sin 2x)| = 1 ⇐⇒ e2y = 1.
以上より, y = 0.
(ii) 極形式の実部・虚部比較による実数 x の導出 (i) より y = 0 であることから, (∗∗) 式は次の方程式に書き直される.
cos 2x − i sin 2x = 1.
(∗∗∗)
ここで, (∗∗∗) 式右辺の 1 を, 係数比較のために 1 + 0i とおき, 方程式 cos 2x − i sin 2x = 1 + 0i の両辺の実部と虚部を比較すると,
cos 2x = 1, sin 2x = 0.
以上より, 2x = 2nπ, すなわち x = nπ (n = 0, ±1, ±2, · · · ).
(i)-(ii) より x = nπ (n = 0, ±1, ±2, · · · ), y = 0. したがって, z = nπ + 0i = nπ, すなわち, z = nπ (n = 0, ±1, ±2, · · · ). · · · (答)
3. 複素変数 z = x + yi に対する対数関数の定義にしたがって, 次の値をすべて求めよ.
√
√
(1) log i
(2) log( 2 + 2i)
[(1) 10 点, (2) 10 点]
解答 (概要) [p.166-167]. 問 2 と同様に, 対数関数 log z も 1 つの複素数 z に対して無限個の異なる値が対応する.
(1) i を極形式 r(cos θ + i sin θ) (r > 0) に直すと |i| = 1 より,
i = 1(0 + 1i) = cos
π
π
+ i sin .
2
2
以上より, log i = log 1 + ( π2 + 2nπ)i (n = 0, ±1, ±2, · · · ) であり, log 1 = 0 より log i = ( π2 + 2nπ)i (n = 0, ±1, ±2, · · · ). · · · (答)
√√
√
√
√
√
√
(2)
2 + 2i を極形式 r(cos θ + i sin θ) (r > 0) に直すと | 2 + 2i| = ( 2)2 + ( 2)2 = 2 より,
√ )
(√
(
)
√
√
2
2
π
π
2 + 2i = 2
+
i = 2 cos + i sin
.
2
2
4
4
√
√
以上より, log( 2 + 2i) = log 2 + ( π4 + 2nπ)i (n = 0, ±1, ±2, · · · ).
· · · (答)
4. 複素変数 z = x + yi に対する逆三角関数の定義にしたがって, 次の値をすべて求めよ.
(1) sin−1 (−1)
[(1) 10 点, (2) 10 点]
(2) cos−1 i
解答 (概要) [p.168]. 問 2, 3 と同様に, 逆三角関数 sin−1 z, cos−1 z も 1 つの複素数 z に対して無限個の異なる値が対応する.
(1) はじめに, sin−1 (−1) を対数関数を用いた式に書き直すと,
sin−1 (−1) =
√
1
1
1
log(i(−1) ± 1 − (−1)2 ) = log(−i ± 0) = log(−i).
i
i
i
3π
3π
ここで, 問 3 と同様の解法を用いると, −i = cos 3π
2 + i sin 2 より, log(−i) = ( 2 + 2nπ)i (n = 0, ±1, ±2, · · · ). したがって,
(
)
1 3π
3π
−1
sin (−1) =
+ 2nπ i =
+ 2nπ.
· · · (答)
i 2
2
(2) はじめに, cos−1 i を対数関数を用いた式に書き直すと,
√
√
√
1
1
1
log(i ± i 1 − i2 ) = log(i ± 2i) = log(1 ± 2)i.
i
i
i
√
ここで, 問 3 と同様の解法を用いて, (1 ± 2)i を極形式 r(cos θ + i sin θ) (r > 0) に直すと
(
)
√
√
π
π
(1 + 2)i =(1 + 2) cos + i sin
,
2
2
(
)
√
√
3π
3π
(1 − 2)i =( 2 − 1) cos
+ i sin
. ←− 注意も参照せよ.
2
2
cos−1 i =
以上より,
)
π
+ 2nπ i,
2
)
(
√
√
3π
log(1 − 2)i = log( 2 − 1) +
+ 2nπ i (n = 0, ±1, ±2, · · · ),
2
log(1 +
√
√
2)i = log(1 + 2) +
(
すなわち,
√
1
log(1 + 2)i =
i
√
1
log(1 − 2)i =
i
(
(
))
√
√
1
π
π
log(1 + 2) +
+ 2nπ i = + 2nπ − (log(1 + 2))i
i
2
2
(
(
))
√
√
1
3π
3π
log( 2 − 1) +
+ 2nπ i =
+ 2nπ − (log( 2 − 1))i
i
2
2
(n = 0, ±1, ±2, · · · ),
(n = 0, ±1, ±2, · · · ).
したがって
√
√
3π
π
+ 2nπ − (log(1 + 2))i,
+ 2nπ − (log( 2 − 1))i (n = 0, ±1, ±2, · · · ).
· · · (答)
2
2
√
√
√
√
注意. 複素数 (1 − 2)i は (1 − 2)(cos π2 + i sin π2 ) とも書けるが, 1 − 2 < 0 より, (1 − 2)(cos π2 + i sin π2 ) は極形式ではない.
cos−1 i =

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