微分積分学および演習Ⅱ 演習問題

微分積分学および演習Ⅱ 演習問題 5
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class ※ ∗ 印の付いた問題は、少し難易度が高めです。
問題 5-1. (高階偏導関数の計算)
以下の関数 f (x, y) の 2 階偏導関数 (即ち fxx (x, y), fxy (x, y), fyx (x, y), fyy (x, y)) をすべて計算しなさい。特に、定義されている範囲で fxy (x, y) = fyx (x, y) が成り立つことを確認しなさい。
xy
x+y
(1)
f (x, y) = 3x2 y − xy 2 + 6xy − 3y
(2)
f (x, y) =
(4)
f (x, y) = y cos(xy)
(5)
f (x, y) = Arctan(xy) (6)
問題 5-2. (偏微分の順序交換可能性
)∗
⎧
x3 y − xy 3
⎪
⎪
⎪
⎪ x2 + y 2
2 変数関数 f (x, y) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩0
(3)
f (x, y) = ex
2
y
f (x, y) = log(x2 + y 2 )
((x, y) ≠ (0, 0) のとき )
((x, y) = (0, 0) のとき )
について、以下の設問に答えなさい。
(1) (x, y) ≠ 0 のとき、1 階偏導関数 fx (x, y) 及び fy (x, y) を計算しなさい。
(2) 定義に従って、点 (0, 0) での f の偏微分係数 fx (0, 0) 及び fy (0, 0) を計算しなさい。
(3)∗ 偏導関数 fx (x, y) 及び fy (x, y) が (x, y) = (0, 0) で連続であることを証明しなさい。
fx (0, ∆y) − fx (0, 0)
fy (∆x, 0) − fy (0, 0)
及び fyx (0, 0) = lim
∆x→0
∆y
∆x
を定義に従って計算しなさい。特に fxy (0, 0) ≠ fyx (0, 0) となることを確認しよう。
(4)☆ 2 階偏微分係数 fxy (0, 0) = lim
∆y→0
(5) (x, y) ≠ (0, 0) のとき、2 階偏導関数 fxy (x, y) 及び fyx (x, y) を計算し、両者が等しいこと
∗
を確認しなさい。
(6) 極限値
lim
(x,y)→(0,0)
fxy (x, y) が存在しないことを示しなさい (特に fxy (x, y) は (0, 0) で連続
ではない!!)。
【ヒント】
(1) 商の微分法を用いたときに、分子をそのまま展開せずに
◯
△
−
という
x2 + y 2 (x2 + y 2 )2
形で整理しておいた方が、(5) の計算がやりやすいと思います。
f (0, ∆y) − f (0, 0)
f (∆x, 0) − f (0, 0)
, fy (0, 0) = lim
を計
∆y→0
∆x→0
∆x
∆y
(2) つまり fx (0, 0) = lim
算しなさい、ということ。
(4) (1), (2) がちゃんと出来ていれば、fx (0, ∆y), fy (∆x, 0) がきれいに計算出来るはず。
(5) 見ての通り、計算は結構、いやかなり大変です……が、頑張って!!
の形にまとめると、結構きれいな形になります。
(6) 「極限が存在しない」タイプの問題でいつもやる奴です。
x2
♢
♡
+ 2
2
+y
(x + y 2 )3

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