(1) s を 0 ≦ s ≦ (1)

年番号
1
以下の問いに答えなさい．
3
p
p
(1) s を 0 5 s 5 2 を満たす実数とする．直線 y = x と直線 y = ¡x + 2s の交点を P とする．
p
直線 y = ¡x + 2s と曲線 y = ¡x2 + 2x の交点で x 座標が 1 以下である点を Q とし，Q の x
座標を t とする．このとき，点 P と点 Q の距離および s を，t を用いて表しなさい．
a を正の実数とし，fn (x) =
Z
x
0
氏名
e¡at sin nt dt (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．このとき，次の問
いに答えよ．
(1) lim fn (x) を求めよ．
x!1
(2) a =
3
とするとき， lim fn (x) が最大となる自然数 n ，およびそのときの最大値を求めよ．
2
x!1
(2) 直線 y = x と曲線 y = ¡x2 + 2x で囲まれた図形を直線 y = x のまわりに回転させてできる
（旭川医科大学 2012 ）
立体の体積を求めなさい．
（首都大学東京 2010 ）
2
4
次の問いに答えよ．
¼
4
0
f(tan x)
dx =
cos2 x
Z
(1)
1
f(t) dt
0
Z
2¼
a sin x + b cos x dx を求めよ．
2k¼
2n Z n
P
k
; a sin nx + b cos nx dx を求めよ．
(2) lim
2(k¡1)¼ #log
n
n!1 k=n+1
n
(1) f(t) を 0 5 t 5 1 で連続な関数とする．tan x = t とおいて，
Z
a; b を正の定数とする．
0
（早稲田大学 2013 ）
であることを示せ．
Z
(2) (1) を用いて，0 以上の整数 n に対し，
0
Z
0
¼
4
tann x dx 5
¼
4
tann x
dx の値を求めよ．また，
cos2 x
1
n+1
5
(1) 直径 1 の球を球の中心から距離 a の平面で切って二つの部分に分け
1
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，0 < a <
2
とする．
を示せ．
(3) 0 以上の整数 n と 0 5 x 5
次の問いに答えよ．
¼
を満たす x に対し，
4
(2) 1 辺の長さが 1 である立方体 ABCD-EFGH を考える．この立方体に
1 ¡ tan2 x + tan4 x ¡ Ý + (¡1)n tan2n x
= 1 ¡ (¡1)n+1 tan2(n+1) x
cos2 x
内接する球と正四面体 ACFH との共通部分の体積を求めよ．
であることを示せ．
(4) (2) と (3) を用いて， lim
n
P
(¡1)k
n!1 k=0
1
の値を求めよ．
2k + 1
（琉球大学 2013 ）
（金沢大学 2012 ）
6
8
e で自然対数の底を表す．関数 f(x) を
C
f(x) = log(x +
a を正の実数とし，f(x) = e¡x sin ax とおくとき，次の問いに答えよ．
2(n ¡ 1)¼
2n¼
< と x 軸で囲まれた部分の面積
5x5
a
a
を An で表すとき，An を a と n を用いて表せ．
1
P
(2) S =
An を a を用いて表せ．
(1) n を自然数とする．曲線 y = f(x) $
2
x + e)
で定めるとき，以下の問いに答えよ．
n=1
(3) lim S を求めよ．
(1) 関数 f(x) を微分せよ．また f0 (x) が偶関数であることを示せ．
a!1
(2) 定積分
Z
1
¡1
（旭川医科大学 2013 ）
f(x) cos #
¼
x; dx
2
を求めよ．
(3) 数列 fan g を
an =
Z
1
¡1
x2n f(x) cos #
¼
x; dx (n = 1; 2; 3; Ý)
2
9
区間 0 5 x 5 ¼ において，関数 f(x) と関数 g(x) を
で定める．n を 2 以上とするとき，an と an¡1 の間に成り立つ関係式を求めよ．
f(x) =
（三重大学 2013 ）
1
cos x;
2
g(x) = cos
x
+c
2
と定義する．c は定数である．次の問いに答えよ．
7
(1) 区間 0 5 x 5 ¼ において，2 曲線 y = f(x) と y = g(x) が x = 0 以外の点で接するように c
x = 0 において連続関数 f(x) が不等式
f(x) 5 a +
Z
の値を定め，接点 (p; q) を求めよ．また，そのとき，区間 0 5 x 5 ¼ における関数 f(x) と関
x
0
数 g(x) の大小関係を調べよ．
2tf(t) dt
をみたしているとする．g(x) =
2
aex
(2) 定数 c と接点 (p; q) は (1) で求めたものとする．そのとき，区間 0 5 x 5 p において，y 軸
とするとき，下の問いに答えよ．ただし，a は 0 以上の定
数である．
Z
および 2 曲線 y = f(x)，y = g(x) によって囲まれた図形を D とする．D を y 軸のまわりに 1
回転してできる立体の体積 V を求めよ．
x
(1) 等式 g(x) = a +
2tg(t) dt を示せ．
Zx 0
2
2
(2) h(x) = e¡x
2tf(t) dt とするとき，x > 0 において不等式 h0 (x) 5 2axe¡x が成り立つ
0
ことを示せ．
(3) x = 0 において不等式 f(x) 5 g(x) が成り立つことを示せ．
（東京学芸大学 2013 ）
（長崎大学 2014 ）
¼
の部分を C とし，
10 関数 f(x) = 2x + cos x がある．xy 平面上の曲線 y = f(x) の 0 5 x 5
2
C と直線 y = 2x，および直線 x + 2y = 2 で囲まれた領域を D とする．領域 D を直線 y = 2x
C
=
ケ
コサ
¼2
シ
¡
C
ス
¼
セソ
である．
の周りに 1 回転してできる立体の体積を求めよう．
（獨協医科大学 2014 ）
C 上の点 P(t; f(t)) から直線 y = 2x に下ろした垂線と直線 y = 2x との交点を Q とする．
線分 PQ の長さは
11 xy 平面上に動点 P(t; 2t)，Q(t ¡ 1; 1 ¡ t) がある．ただし，0 5 t 5 1 とする．次の問いに答
えよ．
(1) 実数 k に対して直線 x = k と直線 PQ との交点を求めよ．
C cos t
ア
(2) 閉区間 [¡1; 1] 内の定数 a に対し，直線 x = a と線分 PQ との交点の y 座標のとり得る範囲
を a で表せ．
であり，点 Q の x 座標は
(3) t が 0 から 1 まで動くとき，線分 PQ が動く領域 S の面積を求めよ．
イ
t+
(4) S を x 軸の周りに 1 回転させた回転体の体積を求めよ．
cos t
ウ
（名古屋市立大学 2014 ）
である．これから，OQ = s とおくと
D
s=
エ
イ
%t +
ウ
cos t=
である．
f0 (x) = 2 ¡ sin x > 0 なので f(x) は増加する．よって，求める体積 V は
V=
Z
p
5¼
2
2 5
5
C
=
p
¼PQ2 ds
オ
カ
¼ Z
0
¼
2
%cos2 t ¡
キ
ク
cos2 t sin t= dt

Download Report