ノート

第１０節２変数関数の極値
z = f (x, y) : ２変数関数
✓定理
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f (a, b) は極値 =⇒ fx (a, b) = 0 かつ fy (a, b) = 0.
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✓定義
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D(a, b) = fxx (a, b)fyy (a, b) − {fxy (a, b)}2 : ヘッセ行列式（ヘシアン）
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✓定理
✏
fx (a, b) = 0, fy (a, b) = 0 とする。
[1] D(a, b) > 0 のとき，
(i) fxx (a, b) > 0 =⇒
f (a, b) は極小値
(ii) fxx (a, b) < 0 =⇒
f (a, b) は極大値
[2] D(a, b) < 0 のとき，f (a, b) は極値でない。
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例
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z = f (x, y) = x2 + 3xy + 4y 2 − x + 2y + 3 の極値を求めよ。
解
fx (x, y) = 2x + 3y − 1 = 0
fy (x, y) = 3x + 8y + 2 = 0
よって，停留点は (x, y) = (2 − 1) である。
fxx (x, y) = 2,
fxx (2, −1) = 2
fxy (x, y) = 3,
fxy (2, −1) = 3
fyy (x, y) = 8,
fyy (2, −1) = 8
よって，ヘッセ行列式は
D(2, −1) = fxx (2, −1) · fyy (2, −1) − {fxy (2, −1)}2 = 2 × 8 − (3)2 = 7 > 0
1
また，fxx (2, −1) = 2 > 0 より，f (2, −1) = 1 は極小値である。
例
□
f (x, y) = 3x2 + 5xy + y 2 − x − 3y の極値を求めよ。
解
fx (x, y) = 6x + 5y − 1 = 0
fy (x, y) = 5x + 2y − 3 = 0
よって，停留点は (x, y) = (1 − 1) である。
fxx (x, y) = 6,
fxx (1, −1) = 6
fxy (x, y) = 5,
fxy (1, −1) = 5
fyy (x, y) = 2,
fyy (1, −1) = 2
よって，ヘッセ行列式は
D(1, −1) = fxx (1, −1) · fyy (1, −1) − {fxy (1, −1)}2 = 6 × 2 − (5)2 = −13 < 0
よって，f (x, y) は停留点 (x, y) = (1 − 1) で極値をとらない。以上より，f (x, y) は極値を
□
持たない。
例
z = f (x, y) =
解
fx (x, y) = √
√
1 − x2 − y 2 の極値を求めよ
−y
= 0, fy (x, y) = √
= 0 より，
1 − x2 − y 2
1 − x2 − y 2
−x
停留点は (x, y) = (0, 0) である。また，
−1 + y 2
fxx (x, y) =
,
(1 − x2 − y 2 )3/2
−xy
fxy (x, y) =
,
(1 − x2 − y 2 )3/2
−1 + x2
fyy (x, y) =
(1 − x2 − y 2 )3/2
より，fxx (0, 0) = −1 < 0, fxy (0, 0) = 0, fyy (0, 0) = −1 であり，D(0, 0) = 1 > 0 である。
□
従って，f (0, 0) = 1 は極大値。
例
f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 の極値を求めよ。
解
停留点を求める。fx (x, y) = 3x2 − 3y = 0 より y = x2
fy (x, y) = −3x + 3y 2 = 0
· · · (1)
· · · (2)
(1) を (2) に代入して，−3x + 3x4 = 3x(x3 − 1) = 0 より，x = 0, 1. よって，(1) より，停
2
留点は (x, y) = (0, 0), (1, 1) である。
次に f の２階偏導関数とヘッセ行列式を求める。
fxx (x, y) = 6x, fxy (x, y) = −3, fyy (x, y) = 6y,
D(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − {fxy (x, y)}2 = 36xy − 9 である。
各停留点で極値をとるかどうか判定する。
(1) (x, y) = (0, 0) のとき，D(0, 0) = −9 < 0 より，f (0, 0) = 0 は極値でない。
(2) (x, y) = (1, 1) のとき，D(1, 1) = 36 − 9 = 27 > 0, fxx (1, 1) = 6 > 0 より，
f (1, 1) = −1 は極小値である。
例
q1 , q2 : ２財の生産量
C(q1 , q2 ) = 8q12 − 2q1 q2 + 6q22 − 40q1 − 42q2 + 180 : 費用関数
費用を最小にする最適生産量 (q1∗ , q2∗ ) を求めよ。
解
Cq1 = 16q1 − 2q2 − 40 = 0,
Cq2 = −2q1 + 12q2 − 42 = 0,
(q1 , q2 ) = (3, 4)
Cq1 q1 = 16 > 0, Cq1 q2 = −2, Cq2 q2 = 12
D(3, 4) = 188 > 0
C(3, 4) = 36 : 極小値
したがって，費用を最小にする最適生産量は (q1∗ , q2∗ ) = (3, 4) である。
例
q1 , q2 : ２財の生産量
p1 , p2 : ２財の価格
1
q1 = 25 − p1 , q2 = 30 − p2 : 需要関数
2
C(q1 , q2 ) = q12 + 2q1 q2 + q22 + 20 : 費用関数
このとき，利潤 π を最大にする最適生産量 (q1∗ , q2∗ ) を求めよ。
解
p1 = −2q1 + 50, p2 = −q2 + 30
π = (p1 q1 + p2 q2 ) − C = −3q12 − 2q1 q2 − 2q22 + 50q1 + 30q2 − 20
πq1 = −6q1 − 2q2 + 50 = 0, πq2 = −2q1 − 4q2 + 30 = 0, (q1 , q2 ) = (7, 4)
πq1 q1 = −6 < 0, πq1 q2 = −2, πq2 q2 = −4
D(7, 4) = 20 > 0
3
□
π(7, 4) = 215 : 極大値
したがって，利潤を最大にする最適生産量は (q1∗ , q2∗ ) = (7, 4)
例
平面内に３個の点 (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ) があるとき、３点からの距離の２乗の和が
最小になる点 (x, y) の座標を求めよ。
3
∑
{
}
解 f (x, y) =
(x − ak )2 + (y − bk )2 とおく。
k=1
fx (x, y) =
3
∑
2(x − ak ) = 2{3x − (a1 + a2 + a3 )} = 0
k=1
fy (x, y) =
3
∑
2(y − bk ) = 2{3y − (b1 + b2 + b3 )} = 0
k=1
よって、停留点は (x, y) =
(
)
a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3
,
. （注：停留点は３点の重心）。
3
3
fxx (x, y) = 6 > 0, fxy (x, y) = 0, fyy (x, y) = 6,
D(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y) − {fxy (x, y)}2 = 36 > 0.
したがって、停留点において f (x, y) は最小となる。
4
□

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