常微分方程式論演習問題1 略解（担当：増淵）

常微分方程式論
1.
演習問題１略解（担当：増淵） −y 2
dy
= 2
, y(0) = y0
dx
x +1
y
x
y
1
dy
dx
1
1
.
y
=
=
0
のとき，左辺
=
= − .
0
2
2+1
−y
x
y
y
y
0
y0
0
y0
dθ
.
cos2 θ
dx =
y=
∴
左辺 =
tan−1 x
dθ
1
·
=
tan2 θ + 1 cos2 θ
0
y0
（一般解）．
1 + y0 tan−1 x
tan−1 x
0
右辺で x = tan θ とおくと
dθ = tan−1 x.
ここで tan−1 x は（原点を通る）逆正接関数．
y0 = 0 となる解は y = 0（一定）．これは一般解に含まれる．
2.
2xy
dy
+
= cos x
dx 1 + x2
· · · (A)
公式を利用するとよい．以下では斉次系の解から定数変化法で解を求めてみる．
2xy
2x
dy
dy
斉次系は
+
=−
= 0. y = 0 のとき
dx より，c0 を定数として
2
dx 1 + x
y
1 + x2
log |y| = − log(1 + x2 ) + c0 = log
ec0
1 + x2
∴
一般解は y =
c1
1 + x2
(c1 = ±ec0 ).
他方，y = 0（一定）も斉次系の解である．これは一般解に含まれる．
u
とする．
1 + x2
(A) の解の候補を，c1 を x の関数 u で置き換えた y =
dy
=
dx
du
(1 + x2 ) − 2xu /(1 + x2 )2
dx
これを積分して (B) に代入すると y =
3. (1)
2x − 3y
dy
=
,
dx
x − 2y
u=
y(x0 ) = y0
y
とおくと y = ux,
x
du
−
(u − 1)2
−
2xy
+ cos x.
1 + x2
(x2 − 1) sin x + 2x cos x + c
x2 + 1
du
dy
= u+x
dx
dx
• u = 1 すなわち y = x のとき
左辺 = −
(A) より
(x0 = 0)
=
· · · (B)
du
= (1 + x2 ) cos x.
dx
∴
(c: 定数).
· · · (C)
∴
u+x
1 − 2u
du = 2
(u − 1)2
2 − 3u
du
=
,
dx
1 − 2u
dx
.
x
x
du
2(u − 1)2
=
dx
1 − 2u
c を定数として
1
2
du =
− log{(u − 1)2 } = 右辺 = log(x2 ) + c
(u − 1)
u−1
1
x
= log{x2 (u − 1)2 } + c. 一般解は
= log{(y − x)2 } + c
u−1
y−x
x0
y−x 2
x
−
.
=
c を初期条件により定めると log
y0 − x0
y − x y0 − x0
∴
• u = 1 すなわち y = x のとき
(2)
2x − 3y + 3
dy
=
dx
4x − 6y
dy
= 1. これは (C) を満たす．また，特異解である．
dx
· · · (D)
du
u = 2x − 3y とおくと
dx
=
(D) より
u−9
.
2u
u = 9 すなわち 2x − 3y = 9 のとき
2u
=
u−9
dx.
x=
2u
du =
u−9
18
+ 2 du = 18 log |u − 9| + 2u + c
u−9
(c: 定数).
よって一般解は 18 log |2x − 3y − 9| + 3x − 6y + c = 0.
u = 9 すなわち 2x − 3y = 9 のとき，
4.
2
dy
= . これは (D) を満たす．また，特異解である．
dx
3
dy
+ x2 y = x2 y 2
dx
dy
= x2 dx
• y = 0, 1 のとき
y(y − 1)
y − 1
1
1
= 右辺 = 1 x3 + c0
−
dy = log 左辺 =
y−1 y
y 3
よって y =
1
3
1 − c1 e1/x
(c1 = ±ec0 )
dy
=0 ∴
dx
• y = 0, 1 のとき
(c0 : 定数)
y = c1 （一定）．
y = 0（一定）は特異解，y = 1（一定）は一般解に含まれる（c = 0 に対応）．
5. (1) (sin y − y sin x) dx + (cos x + x cos y) dy = 0
p(x, y)
q(x, y)
∂q
∂p
=
= cos y − sin x となり，完全微分形である．一般解は，f (y) をある関数として
∂y
∂x
ϕ(x, y) = p(x, y)dx = (sin y − y sin x)dx = x sin y + y cos x + f (y). これより
∂ϕ
= x cos y + cos x + f (y)
∂y
=
(E) より
cos x + x cos y.
∴
f (y) = 0.
よって x sin y + y cos x = c（c: 定数）が一般解となる．
(2) y 2 dx + 2(xy − x2 )dy = 0,
y(1) = y0 (= 0)
積分因子を xm y n とし，これを掛けた xm y n+2 dx + 2(xm+1 y n+1 − xm+2 y n ) dy = 0 を考える．
p̃(x, y)
q̃(x, y)
∂ p̃
= (n + 2)xm y n+1 ,
∂y
∂ q̃
= 2{(m + 1)xm y n+1 − (m + 2)xm+1 y n }.
∂x
これらが一致する m, n は，n + 2 = 2(m + 1), 0 = 2(m + 2) より m = −2, n = −4.
2
1
1
∂ϕ
1
= 3 + f (y) = q̃(x, y) = 2
−
.
ϕ(x, y) = p̃(x, y)dx = − 2 + f (y) とおくと
xy
∂y
xy
xy 3 y 4
よって f (y) =
2
1
1
+ c（c: 定数）．一般解は − 2 + 3 + c = 0.
3
3y
xy
3y
y(1) = y0 より c =
1
1
1
1
1
1
−
. よって解は 3 − 2 = 3 − 2 .
3y
xy
y02 3y03
3y0
y0

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