Math. X-1, Rep. 1975. だ円の諸命題の初等的証明津田丈夫 (1975年4月25日受付) だ円の定義 2定点F,F'に対して FP+F'P である点Pの @一 = 2a 定数) 軌跡をだ円という。F,F' を焦点という。先ず次の定理を出発点とする。基本定理だ円の周上の点Pに於ける接線と直線 FP,F'Pの夫々となす角は等しい。証明(本部均氏) r+r' = 2a r =1/ (x—c)2 +y2, 両辺を弧の長さのペラメークSで微分する。図1 (dr d ar s—ax dx + ar ds ay dy—arar 1 ds ax , ay .1 dx ds r =— dy r•t ds ここでプー窟 ψ はだ円の接線ベクト・ … 又1fl・・i・ltl-・・) そこで一一 -!---•t+ rr' .' . 定一畠' =-•t = 0 cos 0 = —cos cp .• . i r— 0 = Co, 理1. だ円の接線へ焦点Fよる半径aの円である。り下した垂線の足Rの軌跡は0(だ円の中心)を中心とす証明点Pに於ける接線に関するFの対称点をQ とする。するとFQとこの接線との交点が Rである。さて LQPR = LFPR LSPF' = LFPR ZQPR = LSPF' 一方そこでFノ,P,Qは F'Q (基本定理) 一直線上にある。 = F'P+PQ さて,0,Rが = r+r' 図2 = 2a 夫々線分F'F,FQの中点だから OR---=2F'Q=a 即Rは0を定中心とし半径aの点である。理2 だ円の接線へ,焦点F,F'よ線の足を夫々P,P'と FP • F'P' り下した垂すれば碇である。証明 0を中心とする半径aのぶ。POが円を円0と円と再び交る点をQとるとP',Ft,Qは呼する。す一直線上にある。さてだ円の長軸をBAとすれば図3 P'F' •F'Q = BF' •F'A = (a—c) (a+c) =a2—c2 定理3 Pよりだ円への2接あるときFP,F'Pが線のなす角が直角で夫々の接線となす角は等しい。証明図4,5の前の定理で如く κ,ア,x',ア'とすれば図4 xx' • = yy' = a2—c2 _y = x' •• x y' LFPT 定 = /F'PT' 理4 だ円の互いに直交する接線の交点Pの軌跡は円であ図5 る。証明 -- ---- FP2+F'P2 = (x2+y2)+(x'2+y'2) = (x' +y) 2—2x'y+ (y' —x) 2+2xy' = (x' + y) 2+ (y' —x) 2 (•: x'y = xy' = a2—c2) = 4a2 図6 故にOP・.一そこでPは0を図7 定, 中心とする円周上にある。九州大学教養部数学教室