おまけ4

参考資料
有理関数の不定積分
有理関数の不定積分は次の 4 つのステップで求められる.
A(x)
について, A(x)
B(x)
と B(x) に共通因数があれば約分する. 整式の除法を用いて次のように変形すれば Q(x) の積分は容易:
STEP1 有理関数を簡単にする. 整式 A(x), B(x) の商で表される有理関数 f (x) =
A(x)
R(x)
= Q(x) +
B(x)
B(x)
(Q(x), R(x) は整式かつ R(x) の次数 < B(x) の次数).
STEP2 B(x) を実数の範囲で因数分解する. (このとき必ず 2 次以下まで分解できる.)
B(x) = K(x − a)p (x − b)q · · · {(x − c)2 + d2 }m {(x − e)2 + f 2 }n · · · .
R(x)
STEP3
を部分分数分解する:
B(x)
Ap
Bq
R(x)
A1
B1
=
+ ··· +
+
+ ··· +
+ ···
p
B(x)
x−a
(x − a)
x−b
(x − b)q
C1 x + D1
Cm x + Dm
E1 x + F1
E n x + Fn
+
+ ··· +
+
+ ··· +
+ ··· .
(x − c)2 + d2
{(x − c)2 + d2 }m
(x − e)2 + f 2
{(x − e)2 + f 2 }n
STEP4 部分分数分解の各項について適当な置換を施し, 以下の公式を適用する.
有理関数の積分の基本公式 a を実数, n を正の整数とする. このとき,

1
∫
−
(n >
= 2)
n−1
dx
(n
−
1)(x
−
a)
(1)
=
(x − a)n
log |x − a|
(n = 1)

1

∫
(n >
−
= 2)
2 + a2 )n−1
2(n
−
1)(x
x
(2)
dx =
2
2

(x2 + a2 )n
 log(x + a )
(n = 1)
2
(3) a ̸= 0 のとき,
∫

x
dx
2n
−
3

∫
 2
2 + a2 )n−1 + a2 (2n − 2)
2 + a2 )n−1
dx
a
(2n
−
2)(x
(x
=

(x2 + a2 )n
 1 tan−1 x
a
a
(n >
= 2)
(n = 1)
部分分数分解については次の 2 つの方法を用いると良い (併用も可).
2x
A
Bx + C
例 (係数比較法)
=
+ 2
をみたす A, B, C を求める.
2
(x + 1)(x + 1)
x+1
x +1
2x = A(x2 + 1) + (Bx + C)(x + 1) = (A + B)x2 + (B + C)x + A + C.

A + B = 0
係数を比較して, 連立方程式 B + C = 2 を解くと A = −1, B = 1, C = 1.

A+C =0
例 (数値代入法)
2x − 1
A
B
C
=
+
+
をみたす A, B, C を求める.
2
x(x + 1)
x
x+1
(x + 1)2
2x − 1 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx.
x = 0 を代入すると −1 = A. x = −1 を代入すると −3 = −C. よって A = −1, C = 3. 両辺を x で微分す
ると 2 = 2A(x + 1) + B(2x + 1) + C となる. この式に x = −1 を代入すると B = 1 を得る.
三角関数の有理式の不定積分
三角関数の有理式の不定積分を求めるにはいくつかの方法が考えられる. ここでは置換積分による方法
を紹介する. 以下, f は有理関数とする.
∫
∫
(1)
f (sin x) cos x dx = f (t) dt,
(t = sin x)
∫
∫
(2)
f (cos x) sin x dx = − f (t) dt,
(t = cos x)
∫
∫ (
(
)
) 2
2t , 1 − t2
x
(3)
f (sin x, cos x) dx = f
dt,
t
=
tan
2
1 + t2 1 + t2 1 + t2
∫
∫ (
) 1
2
t
t
(4)
f (sin2 x, cos2 x, sin x cos x) dx = f
, 1 ,
dt, (t = tan x)
1 + t2 1 + t2 1 + t2 1 + t2
(1), (2) は計算が容易であるが, 適用しづらい場合も多い. (3) は f が有理式であれば常に用いることができ
るが, 計算は煩雑になる. (4) は f の中で三角関数が偶数個であれば計算でき, (3) よりも計算は容易になる.
無理関数の不定積分
無理関数の不定積分は, 適当な方法で有理関数の不定積分に直すことが多い. 以下, f (X, Y ) は X, Y の
有理関数とする.
)
∫ ( √
n ax + b
Type 1
f x,
dx 型 (ただし, ad − bc ̸= 0, n は 0 でない整数)
cx + d
√
n ax + b
= t とおけば, t の有理関数の積分に帰着する.
cx + d
∫ (
)
√
Type 2
f x, ax2 + bx + c dx 型 (ただし, a ̸= 0)
(1) a > 0 のときは,
√
ax2 + bx + c = t −
√
ax とおけば, t の有理関数の積分に帰着する.
(2) a < 0 のときは, ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β) (α < β) の形に書けるので,
√
√
√
√
β−x
2
ax + bx + c = −a(x − α)(β − x) = −a (x − α)
となり, Type 1 に帰着する.
x−α
Type 3 三角関数による置換
(
)
√
π
π
2
2
<
<
(1)
a − x (a > 0) を含むとき, x = a sin t −
t
とおいてみる.
2 = = 2
(
)
√
(2)
x2 + a2 (a > 0) を含むときは, x = a tan t − π < t < π とおいてみる.
2
2
(
)
√
a
π , π < t < π とおいてみる.
t
<
x2 − a2 (a > 0) を含むときは, x =
0<
(3)
=
=
2 2
cos t
これらの置換によって, ルートが外れて, 三角関数の積分に帰着されることが多い.

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