数学演習 II (問題 8 解答例) 問 1. (1) fx (x, y) = x2 + 2y ，fy (x, y) = 2x + 4y より，連立方程式 x2 + 2y = 0, 2x + 4y = 0 の解は (x, y) = (0, 0), (1, −1/2) (2) fxx (x, y) = 2x，fxx (x, y) = 2，fyy (x, y) = 4 2 D(x, y) = fxx fyy − fxy = 8x − 4 (i) (0, 0) において D(0, 0) = −4 < 0 ゆえに，f (x, y) は (0, 0) で極値をとらない。 (ii) (1, −1/2) において， D(1, −1/2) = 4 > 0 fxx (1, −1/2) = 2 > 0 より，f (x, y) は 1 (1, −1/2) で極小値 − をとる。 6 問 2. 次の関数の不定積分を求めよ。 (1) ∫ 2x + 2 dx = 2 x + 2x + 5 ∫ (x2 + 2x + 5)′ dx = log |x2 + 2x + 5| x2 + 2x + 5 注：x2 + 2x + 5 > 0 より絶対値は要らないが，絶対値をつけておいたほうが誤りが減る。 以下同様にする。 (2) ∫ (3) ∫ 1 dx = x2 + 2x + 5 x−1 1 dx = x2 + 2x + 5 2 ∫ ∫ 1 1 x+1 dx = tan−1 (x + 1)2 + 4 2 2 2x + 2 dx − x2 + 2x + 5 ∫ 2 1 x+1 dx = log |x2 + 2x + 5| − tan−1 x2 + 2x + 5 2 2 問 3. 次の関数の積分の値を求めよ。ただし，a > 0 )′ ( (1) ( (1 + x2 )3/2 = 3x(1 + x2 )1/2 より簡単に計算される。) ここでは，変数変換の公式 を利用する。t = 1 + x2 と置く。dt = 2xdx より ∫ a 0 2 ∫ 2 ) √ 3 1 1+a √ 1 [ 3 ]1+a 1( 2 x 1 + x dx = t2 (1 + a2 ) 2 − 1 t dt = = 2 1 3 3 1 1 (2) ∫ 1 [ ]1 ∫ tan−1 x dx = x tan−1 x − 0 0 0 1 ]1 x π [1 π log 2 2 d x = − log(1 + x ) = − 1 + x2 4 2 4 2 0 (3) ∫ ∞ 2 −x2 x e 0 ]∞ 1 ∫ ∞ [ −1 2 π −x2 e + dx = x · e−x dx = 2 2 0 4 0 2
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