微分積分学 I 中間試験問題 (２０１５年６月) 氏名学籍番号 1. 次の関数の極限値を求めよ.（各３点） √ √ 2x + 2 − 2x + 1 √ (1) lim √ x→∞ x+1− x−1 (2) lim x→∞ 4x+1 + 3x 4x + 2 x ( )x 1 (3) lim 1 + x→∞ 2x (4) lim x2 log x x→+0 1 (5) lim (x + 1) sin 2x x→0 2. 次の関数 f (x) は x = 0 において連続であることを示せ.（５点） { x2 sin(log |x|) (x ̸= 0) f (x) = 0 (x = 0) 3. 導関数の定義に基づいて, 関数 f (x) = x2 + x の導関数 f ′ (x) を求めよ.（５点） 4. 次の関数の導関数を求めよ.（各４点） (1) y = log (ex + 1) (2) y = cos x x−1 (x ̸= 1) (3) y = 2sin x (4) y = x tan−1 x (5) y = xlog x −1 (x > 0) (6) y = cos (sin x) ( π) 0<x< 2 5. { x = e2t + 6t パラメータ表示された関数 y = t2 + 1 の導関数 dy を t の式で表せ.（５点） dx 6. 次の逆三角関数の主値を括弧内に入れよ.（各２点） ( √ ) ( ( ) ( ) ) 1 2 −1 −1 √ = (1) tan (2) sin − = 2 3 7. 関数 y = 8. 次の各問に答えよ. ただし, (2),(3),(4) では剰余項は不要である. (1) 次の括弧内に適当な数または数式を入れよ. ただし, n は自然数である.（各問共に正解で２点） (i) y = e(x のマクローリン展開において , ) ( ) 定数項は 3x − 2 (x > 0) の逆関数および, その定義域と値域も求めよ.（５点） x+2 であり, xn の項の係数はである. (ii) y = log(1 + x) (|x| < 1) のマクローリン展開において, ( ) ( ) n 定数項はであり, x の項の係数はである. (2) y = x sin x のマクローリン展開を x6 の項まで求めよ.（６点） (3) y = ex log(1 + x) (|x| < 1) のマクローリン展開を x3 の項まで求めよ.（６点） (4) y = 9. 10. 1 1 − x2 (|x| < 1) のマクローリン展開を x6 の項まで求めよ.（６点）ライプニッツの公式を用いて, 関数 f (x) = x2 e−x の n 次導関数を求めよ. ただし, n ≧ 2 とする.（５点） ( ) 1 x>− について, 次の問いに答えよ. 3 (1) f (x) の 3 次までの導関数 f ′ (x), f ′′ (x), f ′′′ (x) を求めよ.（６点） √ 関数 f (x) = 1 + 3x (2) f (x) のマクローリン展開を 3 次の項まで求めよ.（剰余項は不要である)（４点）