第 2 回解答 [1] ] ∫∫ ∫∫ ∂f2 (x, y) ∂f1 (x, y) dxdy − = dxdy [(−6y) − (−16y)] = dxdy10y ∂x ∂y R R R ∫ ∫ [ 2 ] [f1 (x, y)dx + f2 (x, y)dy] = (3x − 8y 2 )dx + (4y − 6xy)dy ∫∫ [ C C (t, t2 )、C 2 (a) 右辺の計算では C1 で (x, y) = 2 で (x, y) = (t , t) とした。媒介変数表示をすると dx dy dx = dt, dy = dt のように積分変数を書き換えられる。微分したものを積分すると元に dt dt 戻るということを意識しすぎて、逆に面倒な計算をしている人が目立ちました。 ( ) ∫ 1 ∫∫ ∫ 1 ∫ √x 1 1 3 4 (左辺) = dxdy10y = dx 10ydy = dx5(x − x ) = 5 − = 2 5 2 0 x2 0 ∫ R [ 2 ] (右辺) = (3x − 8y 2 )dx + (4y − 6xy)dy C ∫ 1 ∫ 0 [ 2 ] [ 4 ] 4 2 3 = 3t − 8t + (4t − 6t )2t dt + (3t − 8t2 )2t + 4t − 6t3 dt 0 1 ) ( ∫ 1 ∫ 1 3 11 4 3 2 5 3 +2 = = (−20t + 8t + 3t )dt − (6t − 22t + 4t)dt = −4 + 2 + 1 − 1 − 2 2 0 0 (b) ∫∫ ∫ (左辺) = dxdy10y = ∫ R [ ∫ 1 dx 0 ∫ 1−x dy10y = 0 ] 0 1 dx5(x − 1)2 = 5 3 (3x2 − 8y 2 )dx + (4y − 6xy)dy C ∫ 1 ∫ 1 ∫ 0 [{ } ] 2 2 2 = 3t dt + 3(1 − t) − 8t (−1) + 4t − 6(1 − t)t dt + 4tdt 0 0 1 ∫ 1 5 =1+ (11t2 + 4t − 3)dt − 2 = 3 0 (右辺) = [2] (圧力, 体積, 温度) が (p0 , V0 , T0 ) から (p1 , V1 , T1 ) と変化するとすれば、等温変化なので T1 = T0 、10 1 気圧から 1 気圧に変化したので、p1 = p0 、状態方程式 pV = nRT から V1 = 10V0 。n = 1[mol] 10 であることと、変化の途中で温度一定だったことから、T を積分の外に出すことができることに注意し、 ( ) ∫ V1 ∫ V1 dV 10V0 pdV = RT W = = RT ln = 8.3 × 288 × 2.3 ≒ 5..5 × 103 [J] V V 0 V0 V0 温度一定では理想気体の内部エネルギーは変化しないから加える熱量 Q は Q = W = 5.5 × 103 [J] = 1.3 × 103 [cal] ※物理量の単位について物理の熱力学でよく用いられる単位は、今回出てきたものを挙げると圧力:p →Pa=N/m2 =kg m−1 s−2 、体積:V →m3 、モル数 n →mol、温度 T →K、気体定数 R = 8.3144621 m2 kg s−2 K−1 mol−1 この気体定数を含む、物理定数は 1m=100cm=1000mm のように単位が変われば数値が変わります。そのため、講義で用いられている単位系に合わせるか、上に書いたような物理でよく用いられる、SI 単位系 (MKSA 単位系) にしておくと良いと思います。また、問題で数値を求める場合には、できるだけ文字で計算しておいて、最後に数値を入れることで無駄に単位系について考える必要が減ります。 ※気体がする仕事について ∫ 気体がする仕事= pdV です。 ∫ ∫ 気体がする仕事を W と定義すると W = pdV ですし、−W と定義すると −W = pdV となります。問題に書いてある定義に合わせてください。定義が書いてなければ解答の中に定義を書いておくと無難です。