数学解析 II 宿題１ 2014 後、担当：梅原、電シ（水 1-2）、電物（水 3-4）[01]
マルせよ→（電シ・電物）学籍番号
氏名
注意事項
1. この用紙を用いること。講義 web ページ（http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/umehara/lecture2014 2.html）か
らプリントアウトしてもよい。その場合, A4 で両面印刷にすること。紙を付け足す場合も A4 用紙を用いること。
指定を守らない物は原則として受け取らない。
2. 略解（解説）を講義 web ページに掲載します。独力で解いたあと、略解を見て自分で添削を済ませること。添削
の際は、自分なりの学習の跡を残すことが大切です。また、質問を書き込んでもよいです。
3. 今回の宿題の提出期限は
問1
2014 年 10 月 6 日（月）13:00 とします。提出先：A209 のポスト
次の二変数関数の定義域を求め, 図示せよ.
(1) z = x2 +
√
(2) z = log(x2 − y 2 )
xy
[解答例（解説）] (1) ルートの中身はゼロ以上なの
で, この二変数関数が定義される条件は, xy = 0 で
ある. すなわち,
{
x = 0,
{
または
y=0
x 5 0,
y50
である. これを図示すると下図の斜線部分になる.
y
問2
次の二変数関数のグラフはどんな図形か.
(1) z = 1 − x − y
(2) z =
1
x−y
[解答例（解説）] ※この問題は, 図形をイメージす
る練習ですので, ここに解答として何を書こうが
自由です. 以下の文章はあくまで参考です.
(1) 定義域は xy 平面全体である. 式変形すると
x + y + z = 1 であり, これは平面の方程式である.
一般に, x, y, z の一次式は平面になる (知らない人
は, リメディアル資料の p76 参照のこと). この平
面は, 点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) を通り, 法線ベ
クトル ⃗n = (1, 1, 1) を持っている.
O
1-x-y
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
x
境界含む
-10
10
-5
5
(2) 対数 log(x − y ) の真数が正であることから,
2
x2 − y 2 > 0. よって, (x + y)(x − y) > 0 より,
{
{
x + y > 0,
x + y < 0,
または
x−y <0
x−y >0
であり, つまり,
{
y > −x,
0
2
{
または
y<x
0
5
-5
10 -10
(2) 定義域は x − y ̸= 0, すなわち, xy 平面から直
線 y = x を除いた部分である. z = C (C は定数)
とおくと, C =
1
x−y ,
つまり, y = x − C1 なので, 直
y < −x,
線 y = x + k 上ではどこでも z は一定値 (= − k1 )
y>x
をとる (− C1 = k と置きかえている). また, xy 平
ということである. これを図示すると下図の斜線
部分である.
面上で点 (x, y) が直線 y = x に近づくと, z の式の
分母 (の絶対値) が小さくなるので, z は発散する.
y
1/(x-y)
y=x
40
20
0
-20
-40
x
O
1
0.5
0
-0.5
-1 -1
-0.5
0
0.5
1
境界含まず
y = −x
(終わり)
(終わり)