解10

数学解析 II 宿題１０ 2014 後、担当：梅原、電シ（水 1-2）、電物（水 3-4）[12]
マルせよ→（電シ・電物）学籍番号
氏名
注意事項
1. この用紙を用いること。講義 web ページ（http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/umehara/lecture2014 2.html）か
らプリントアウトしてもよい。その場合, A4 で両面印刷にすること。紙を付け足す場合も A4 用紙を用いること。
指定を守らない物は原則として受け取らない。
2. 略解（解説）を講義 web ページに掲載します。独力で解いたあと、略解を見て自分で添削を済ませること。添削
の際は、自分なりの学習の跡を残すことが大切です。また、質問を書き込んでもよいです。
3. 今回の宿題の提出期限は
問1
{
D = (x, y) | 2x + y
2015 年 1 月 13 日（火）13:00 とします。提出先：A209 のポスト
2, x
0, y
問2
0}
とする. D を図示し, 次の二重積分を計算せよ.
∫∫
(x2 − 2y) dx dy
問 1 の二重積分を, 問 1 でやったのとは異
なるやり方 (異なる累次積分) で求めよ.
D
[解答例（解説）] y を区間 [0, 2] で任意に固定した
ときの x の範囲は [0, 2−y
2 ] になるから,
[解答例（解説）] D は下の図の様になる.
∫∫
(x2 − 2y) dx dy
y
D
∫
2
2
{∫
2−y
2
=
(x − 2y) dx
dy
0
0
[
]x= 2−y
2
x3
=
− 2yx
dy
3
0
x=0
}
∫ 2{
(2 − y)3
2
=
− 2y + y
dy
24
0
[
]2
−(2 − y)4
y3
1
8
7
2
=
−y +
= −4+ =−
24 · 4
3 0
6
3
6
∫
y = 2 − 2x
2
(終わり)
x
O
}
2
1
※問 1 の解答例と問 2 の解答例を逆にしても良い.
x を区間 [0, 1] で任意に固定したときの y の範囲は
あ
[0, 2−2x] になるから,
∫∫
(x2 − 2y) dx dy
あ
あ
D
∫
1
{∫
(x2 − 2y) dy
=
0
∫
あ
}
2−2x
あ
dx
あ
0
1
[
=
0
∫
x2 y − y 2
]y=2−2x
あ
dx
あ
y=0
1
あ
(−x3 − x2 + 4x − 2) dx
=2
あ
0
[ 4
]1
x
x3
7
2
=2 − −
+ 2x − 2x = −
4
3
6
0
あ
あ
あ
(終わり)
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
1
}
{
D = (x, y) | 0 x 2, π2
y π と
する. D を図示し, 次の二重積分を計算せよ.
∫∫
y 2 cos(xy) dx dy
{
}
D = (x, y) | 0
y
x
1 とする. D
を図示し, 次の二重積分を計算せよ.
∫∫
y2
dx dy
4
D 1+x
問3
問4
D
[解答例（解説）] D は下の図の様になる.
[解答例（解説）] D は下の図の様になる.
y
y
1
π
O
π
2
O
2
y=x
1
x
x を区間 [0, 1] で任意に固定したときの y の範囲
は [0, x] になるから,
x
∫∫
y2
dx dy
4
D 1+x
)
∫ 1 (∫ x
y2
=
dy dx
4
0
0 1+x
[ 3 ]y=x
∫ 1
y
1
dx
=
4
3 y=0
0 1+x
∫
∫
1 1 x3
1 1 1 (1 + x4 )′
=
dx = ·
dx
3 0 1 + x4
3 4 0 1 + x4
]1
1
1[
log(1 + x4 ) =
log 2
=
12
12
0
(終わり)
y を区間 [ π2 , π] で任意に固定したときの x の範囲
は [0, 2] になるから,
∫∫
y 2 cos(xy) dx dy
D
∫
π
{∫
}
2
2
=
y cos(xy) dx
∫
π
2
[
π
y2
=
∫
π
2
dy
0
1
sin(xy)
y
]x=2
dy
x=0
π
=
y sin 2y dy
π
2
[ (
)]π ∫ π (
)
1
1
= y · − cos 2y
−
− cos 2y dy
π
2
2
π
2
2
[
]π
} 1 1
π
3
1{
π · 1 − · (−1) +
sin 2y
=− π
=−
2
2
2 2
4
π
あ
あ
あ
あ
2
あ
(終わり)
あ
あ
あ
あ
あ
あ
—– 通信欄（授業や宿題に関して何かあれば） ——
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
2

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