解析学 IV 演習第 2 回試験問題 2015.12.22 問題 1 面積確定集合 {(x, 2x) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ 1} の面積を求めよ. (解答例) 任意に ε > 0 をとる. 2/n < ε となる n ∈ N をとる. 2 A = {(x, x ≤ 1}, Bm = [(m − 1)/n, m/n] × [2(m − 1)/n, 2m/n] (1 ≤ m ≤ n) とする. ∪ 2x) ∈ R |0 ≤ ∑ A⊂ Bm , |A| ≤ |Bm | = n(1/n)(2/n) = 2/n < ε である. A の面積は 0 である. 1≤m≤n 1≤m≤n 問題 2 D = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x + y, 0 ≤ x − y}, Dn = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x + y ≤ n, 0 ≤ x − y ≤ n} (n ∈ N) とする. (1) ∫∫ (x − y)e−(x+y) dxdy. n ∈ N とする. 次の積分値を求めよ. Dn (2) 以下の広義積分は収束するかどうかを判定せよ . 収束するならばその値を求めよ. ∫∫ (x − y)e−(x+y) dxdy. D (解答例)(1): ( ) x + y x − y f, g : R2 → R2 , f (x, y) = (x + y, x − y), g(x, y) = , = (g1 (x, y), g2 (x, y)), とする. 2 2 (x, y) ∈ R2 ならば f (g(x, y)) = (x, y) = g(f (x, y)) だから f は全単射で g = f −1 である. g のヤコビ行列を J) とする. すなわち, ( 1 1 1 −1 1 −1 J(x, y) = , det J(x, y) = − = , ((x, y) ∈ R2 ) である. 2 1 −1 4 4 2 En = [0, n] × [0, n] とする. g(En ) = Dn を示す. (x, y) ∈ En ならば g(x, y) = ((x + y)/2, (x − y)/2), g1 (x, y) + g2 (x, y) = x, g1 (x, y) − g2 (x, y) = y, g(x, y) ∈ Dn , g(En ) ⊂ Dn である. (x, y) ∈ Dn ならば f (x, y) = (x + y, x − y) ∈ En , f (Dn ) ⊂ En である. Dn = g(f (Dn )) ⊂ g(En ) ⊂ Dn , g(En ) = Dn である. 積分の変数変換公式より ∫∫ ∫∫ (x − y)e−(x+y) dxdy = (g1 (x, y) − g2 (x, y))e−(g1 (x,y)+g2 (x,y)) | det J(x, y)|dxdy Dn∫ ∫ ) ∫ (E∫n n ∫ 1 − e−n n n2 (1 − e−n ) 1 1 n −x −x ye dx dy = ydy = である. = ye dxdy = 2 En 2 0 2 4 0 0 (2): {Dn } は D の近似列である. en > n だから e−n < n−1 , 1 − e−n > 1 − n−1 , n2 (1 − e−n ) > n(n − 1) である. 広義積分は発散する. 問題 3 A ⊂ R2 ∫は面積確定有界閉集合 , I = [0, 1], f : A × I → R は A × I 上連続, ∫ f (x, t)dx (t ∈ I) とする. 以下を示せ. F (t) = A (1) 任意の t ∈ I に対して F (t) は存在する. (2) F は I 上連続である. (解答例) (1): 任意の t ∈ I を固定する. g : A → R, g(x) = f (x, t), は A 上連続であり, A は有界な面積確定集合だから g は A 上可積分である. (2): |A| を A の面積とする. a ∈ I とする. 任意の ε > 0 を取る. f は有界閉集合 A × I 上一様連続だから δ > 0 が存在し ε x ∈ A, t, s ∈ I, |t − s| < δ ならば |f (x, t) − f (x, s)| < である. 1 + |A| ∫∫ ∫∫ ε t ∈ I, |a − t| < δ ならば |F (a) − F (t)| ≤ |f (x, a) − f (x, t)|dx ≤ dx < ε 1 + |A| A A である. F は a で連続である.