第 11 回 空間の内の平面 学籍番号 名前 問 1. 次の平面のベクトル方程式、パラメータ表示、一次方程式による表示を求めよ． (1) 3 点 (1, −1, 2), (2, 3, −1), (0, 2, −3) を通る平面 定義に従って計算すればよい. P0 = (1, −1, 2), P1 = (2, 3, −1), P2 = (0, 2, −3) とおくと u1 = (1, 4, −3), u2 = (−1, 3, −5) でとなる．従ってベクトル方程式は p = p0 + su1 + tu2 , パラメータ表示は x = 1 + s − t y = −1 + 4s + 3t z = 2 − 3s − 5t, s, t ∈ R. s, t ∈ R. 一次方程式による表示は ax + by + cz + d = 0 に 3 点の座標を代入して計算すると 11x − 8y − 7z − 5 = 0. 問 2. 平面 x + y + 2z + 1√= 0 のヘッセの標準形を求めよ． 与えられた式の両辺を 6 で割ると 1 1 2 1 √ x+ √ y+ √ z+ √ =0 6 6 6 6 )2 ( )2 ( )2 ( 1 2 1 + √ + √ = 1 となりこれは与えられた平面のヘッセの標準形である. となる．このとき √ 6 6 6 問 3. 点 (a, b, c) と平面 ax + by + cz + d = 0 との距離を求めよ． 点 (a, b, c) が原点となるように平行移動した座標を (X, Y, Z) とすると (X, Y, Z) = (x, y, z) − (a, b, c) = (x − a, y − b, z − c) これを平面の式に代入すると a(X + a) + b(Y + b) + c(Z + c) + d = aX + bY + cZ + a2 + b2 + c2 + d = 0. √ a2 + b2 + c2 で割ると b c a2 + b2 + c2 + d a √ X+√ Y +√ Z+ √ =0 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c2 となる．このとき原点からの距離は |a2 + b2 + c2 + d| √ a2 + b2 + c 2 である． となる．この両辺を
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