2 2 次方程式 x2 + ax + a +4=0 3 方程式 29x + 33y

年番号
1
x2 + 2xy + 3y2 = 27 を満たす整数の組 (x; y) は
で x ¡ y の値が最大になる組は，(x; y) = (
オ
エ
;
組あり，その中
カ
) である．
（早稲田大学 2015 ）
3
氏名
方程式 29x + 33y = 1 について，次の問いに答えなさい．
(1) 整数解をすべて求めなさい．
x
(2) 整数解 x; y のうち，
が最大となる x; y を求めなさい．
y
（鳴門教育大学 2015 ）
2
2 次方程式 x2 + ax + a + 4 = 0 の 2 つの解が整数となるように定数 a の値
を定めよ．
（倉敷芸術科学大学 2015 ）
4
6
次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1) 4 桁の自然数 54
4 が 9 の倍数であるとき，
に入る数は
ある．また，この 4 桁の自然数が 3 の倍数であるとき，
数は
38
37
で
に入る最大の
39
最小公倍数を B とすると A =
個である．180 と 80 の最大公約数を A，
40
，B = A £
(3) a; b は自然数とする．a を 7 で割ると
このとき，b を 7 で割ると
42
1 余り，a2
41
である．
+ b を 7 で割ると 6 余る．
余る．
（広島経済大学 2015 ）
5
よび 710 = 282475249 を用いてよい．
(1) 201410 の十の位の数字を求めよ．
(2) 201410 の十万の位の数字を求めよ．
である．
(2) 180 の正の約数の個数は
201410 に関して，以下の問に答えよ．ただし，必要ならば 79 = 40353607 お
p は奇数である素数とし，N = (p + 1)(p + 3)(p + 5) とおく．
(1) N は 48 の倍数であることを示せ．
(2) N が 144 の倍数になるような p の値を，小さい順に 5 つ求めよ．
（千葉大学 2014 ）
(3) 201410 の上 3 桁の数字を求めよ．
（岐阜大学 2014 ）
7
A は 3 桁の自然数で，その百の位の数 x，十の位の数 y，一の位の数 z は，
シ
の解答群
1 A2B
100x + 10y + z = x! + y! + z!
2 B2A
3 A=B
を満たしている．
(1) 6! の値を求め，x; y; z はすべて 5 以下であることを示せ．
(2) x は 3 以下であることを示せ．
4 A ½ B かつ A Ë B
5 B ½ A かつ A Ë B
6 A\B=Á
(3) y; z のうち少なくとも 1 つは 5 であることを示せ．
7 A \ B Ë Á かつ A Ë A [ B Ë B
(4) A を求めよ．
（杏林大学 2014 ）
（愛媛大学 2014 ）
8
シ
の解答は解答群の中から最も適当なものを 1 つ選べ．
n を 100 以下の自然数とし，n の約数の個数を f(n)，空集合を Á とする．
(1) f(48) = アイであり，f(n) = 9 を満たす最小の自然数は n = ウエ
である．f(n) = 5 を満たす n の個数は
す n の個数は
オ
個であり，f(n) = 6 を満た
個である．
カキ
(2) f(n) の最大値は
クケ
である．したがって，f(f(n)) > 4 を満たす最
小の自然数は n =
コサ
となる．
(3) f(n) = 2 を満たす 100 以下の自然数 n の集合を A，100 以下の素数の集合
を B とすると，
シ
が成り立つ．
9
x; y; z; p は自然数で
xy + yz + zx = pxyz;
x5y5z
ÝÝ1
を満たしている．次の問いに答えよ．
(1) p 5 3 を示せ．
(2) 1 を満たす自然数の組 (p; x; y; z) をすべて求めよ．
（旭川医科大学 2013 ）
10 m; n (n > 0) は整数とする．m2 ¡ 6m + 1 + 2n = 0 をみたす整数の組
(m; n) は，何個あるか．
（自治医科大学 2013 ）

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