2学期末数学演習a⑥

2学期末　数学演習a　⑥
(　)組(　)番　名前(　)　１
次の数の組の最大公約数と最小公倍数を求めよ。
(1)　36，378　(2)　462，1155
(3)　60，135，195　(4)　180，336，4410
２
a，b は整数とする。a を 7 で割ると 3 余り，b を 7 で割ると 4 余る。このとき，次の数
を 7 で割った余りを求めよ。
(1)　a +2b　(2)　ab　(3)　a 4　(4)　a 2013
３
n を自然数とするとき，m ( n で， m と n が互いに素であるような自然数 m の個数を
f 0 n1 とする。
(1)　f 0 15 1 の値を求めよ。
(2)　p，q は異なる素数とする。このとき，f 0 pq1 を求めよ。
(3)　p は素数，k は自然数とする。このとき，f 0 p k1 を求めよ。
-1-
１
解説
(1)　36= 2 2 ･ 3 2
378=2 ･ 3 3 ･ 7
最大公約数は　2 ･ 3 2 =18
最小公倍数は　2 2 ･ 3 3 ･ 7=756
(2)　462=2 ･ 3 ･ 7 ･ 11
1155=3 ･ 5 ･ 7 ･ 11
最大公約数は　3 ･ 7 ･ 11=231
最小公倍数は　2 ･ 3 ･ 5 ･ 7 ･ 11=2310
(3)　60= 2 2 ･ 3 ･ 5
135= 3 3 ･ 5
195=3 ･ 5 ･ 13
最大公約数は　3 ･ 5=15
最小公倍数は　2 2 ･ 3 3 ･ 5 ･ 13=7020
(4)　180= 2 2 ･ 3 2 ･ 5
336= 2 4 ･ 3 ･ 7
4410=2 ･ 3 2 ･ 5 ･ 7 2
最大公約数は　2 ･ 3=6
最小公倍数は　2 4 ･ 3 2 ･ 5 ･ 7 2 =35280
２
解説
a =7q +3 ，b =7q - +4 (q，q - は整数) と表される。
(1)　a +2b =7q +3+20 7q - +4 1 =70 q +2q - 1 +3+8 =70 q +2q - +1 1 +4
したがって，求める余りは　4
(2)　ab = 0 7q +3 10 7q - +4 1 =49qq - +70 4q +3q - 1 +12 =70 7qq - +4q +3q - +1 1 +5 したがって，求める余りは　5
(3)　a 2 = 0 7q + 3 1 2 =49q 2 +42q +9 =70 7q 2 +6q +11 +2
よって，a 2 =7m +2 (m は整数) と表されるから
a 4 = 0 a 21 2 = 0 7m + 2 1 2 =49m 2 +28m +4 =70 7m 2 +4m1 +4
したがって，求める余りは　4
(4)　a 3 を 7 で割った余りは，3 3 を 7 で割った余り 6 に等しい。
よって，0 a 31 2 = a 6 を 7 で割った余りは，6 2 =36 を 7 で割った余り 1 に等しい。
a 2013 = a 2010a 3 = 0 a 61 335 ･ a 3 であるから，求める余りは，1 335 ･ 6=6 を 7 で割った余りに
等しい。したがって，求める余りは 6
t　[(1) ～ (3) 割り算の余りの性質を利用した解法]
(1)　2 を 7 で割った余りは 2 (2=7 ･ 0+2 ) であるから，2b を 7 で割った余りは 2 ･ 4=8 を
7 で割った余り 1 に等しい。
-2-
ゆえに，a +2b を 7 で割った余りは 3+1=4 を 7 で割った余りに等しい。
よって，求める余りは　4
(2)　ab を 7 で割った余りは 3 ･ 4=12 を 7 で割った余りに等しい。
よって，求める余りは　5
(3)　a 4 を 7 で割った余りは 3 4 =81 を 7 で割った余りに等しい。
よって，求める余りは　4
３
解説
(1)　15=3 ･ 5 であるから，f 0 15 1 は 1 から15 までの自然数のうち，
1 ･ 3 ，2 ･ 3 ，3 ･ 3 ，4 ･ 3 ，1 ･ 5 ，2 ･ 5 ，3 ･ 5
を除いたものの個数であるから　f 0 15 1 =15-7=8
(2)　p，q は異なる素数であるから，pq と互いに素である自然数は，p の倍数でも q の倍
数でもない自然数である。
ゆえに，f 0 pq 1 は，1 から pq までの pq 個の自然数のうち
p，2p，……，0 q -11 p，pq；q，2q，……，0 p -11 q，pq
を除いたものの個数である。
よって　f 0 pq 1 = pq - 0 p + q -1 1 = pq - p - q +1 = 0 p -1 10 q -1 1
(3)　1 から p k までの p k 個の自然数のうち，p の倍数は p k & p = p k-1 (個) あるから，
f 0 p k1 は p の倍数でないものの個数を求めて　f 0 p k1 = p k - p k-1
8
v　f 0 p k1 = p k 1 -
1
としてもよい。
p
9
-3-

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