異時点間の消費配分について

経済統計学異時点間の消費配分について
消費増税前の駆け込み需要は，明らかに消費者の合理的行動の結果であ
る．消費者には予算制約があるので，少しでも安い買い物をすることによっ
て，得られる効用が大きくなるからだ．消費者の効用最大化という観点か
ら，異時点間の消費配分について考えてみよう．
ケインズのモデル
今期の所得 Y と限界消費性向 c によって今期の消費 C が決まる．
C = C0 + cY,
0<c<1
(1)
このモデルには，異時点間の消費配分による効用最大化の問題は含まれない．
恒常所得仮説
フリードマンは所得 Y を恒常所得 Y P と変動所得 Y T に分け，消費 C は
C = kY P ,
k は定数
(2)
によって決まると考えた．両辺を所得 Y で割ると，平均消費性向
C
kY P
= P
Y
Y +YT
(3)
を得る．(3) 式は，好景気により変動所得 Y T が増加すると平均消費性向 C/Y
は低下し，不景気ならば上昇することを示している．この仮説によれば，恒
久的な増減税によって恒常所得 Y P が増減すると，消費も恒久的に増減する．
二期間モデル
今期と来季，t = 1, 2 の二期間での消費配分を考える．今期の所得は
Y1 = C1 + S1
(4)
である．実質利子率を r とすると，貯蓄 S1 には利子が付くので，来季の消
費の予算制約は
C2 = (1 + r)S1 + Y2 − S2
(5)
1
になる．合理的な消費者は，今期の消費 C1 と来季の消費 C2 から得られる
効用 U (C1 , C2 ) を，予算制約式 (5) の下で最大化する．
max
U (C1 , C2 ) s.t. C2 = (1 + r)(Y1 − C1 ) + Y2 − S2
(6)
効用関数に
Ct1−θ
, 0<θ<1
1−θ
を使ってモデルを具体化しよう．二期間の効用関数を
U (Ct ) =
U (C1 , C2 ) =
C11−θ
C 1−θ
+β 2 ,
1−θ
1−θ
0 ≦ β,
(7)
0<θ<1
(8)
とする．ただし，β は来季の消費から得られる効用の割引率 (β < 1) または
割増率 (β > 1) である．効用関数 (8) のグラフを θ = β = 1/2 として描く．
等高線が等効用曲線すなわち無差別曲線である.
効用関数 U (C1 , C2 )
効用関数 (7) は CRRA 型 (Constant Relative Risk Aversion) といって
U ′ = C −θ ,
U ′′ = −θC −1−θ
(9)
により「相対的危険回避度」= −1×「限界効用の消費弾力性」が一定になる．
(
)
U ′′
−θC −1−θ
dU ′ /U ′
−C ′ = −C
=θ
=−
(10)
U
C −θ
dC/C
2
この式の両辺を C で割ると，
「絶対的危険回避度」= −1×「限界効用の変化
率」になり，効用関数 (7) は逓減することがわかる．
−
U ′′
θ
=
>0
′
U
C
(11)
CRRA 型の効用関数は数学的に扱いやすく，経済学的な性質も満たして
いるので，モデル分析でしばしば利用される.
効用最大化
制約条件 C2 = (1 + r)(Y1 − C1 ) + Y2 − S2 の下で (6) 式の効用最大化問題
を解くために，ラグランジュの未定乗数法を用いる．ラグランジュ関数を
L(C1 , C2 , λ) = U (C1 , C2 ) − λ {C2 − (1 + r)(Y1 − C1 ) − Y2 + S2 }
(12)
とおくと，関数 L を C1 , C2 , λ で偏微分した値がすべてゼロのとき，U (C1 , C2 )
が最大化される．

∂L


= C1−θ − λ(1 + r) = 0
(13)


∂C

1


∂L
= βC2−θ − λ = 0
(14)

∂C
2





 ∂L = C2 − (1 − r)(Y1 − C1 ) − Y2 + S2 = 0
(15)
∂λ
(15) 式は制約条件であり，(13) 式と (14) 式から，今期の限界効用 U1′ = C1−θ
と来季の限界効用 U2′ = C2−θ の関係を決定するオイラー方程式
λ=
C1−θ
= βC2−θ
1+r
(16)
を得る．(16) 式を整理すると，今期の消費 C1 と来季の消費 C2 の間に
( )θ
C2
= (1 + r)β,
0<θ<1
(17)
C1
という関係が成り立つ．つまり，実質利子率 r が上昇すれば，今期の消費
C1 に対する来季の消費 C2 の比率が高まる．また，来季の消費 C2 から得ら
れる効用の割引率 β が小さくなれば，今期の消費 C1 の比率が高まる．例え
ば，来季に生きられないことが明らかになれば，β = 0 として，今期にすべ
て消費することが合理的であり，強いインフレにより 1 + r = 0 になっても
同様である．
3

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