熱物理学演習問題 (6) 番号: 名前: [1] 準静的断熱過程 d′ Q = 0 で気体が外部になした仕事は、理想気体の準静的断熱過程では dU = nCV dT, pV = 熱力学第一法則より nRT, d′ Q = 0 であるから、熱力学第一法則は nCV dT = − −∆W = −∆U nRT dV V p1 V1 =− γ−1 マイヤーの関係式 Cp − CV = R を用いると、 [( V1 V2 ] )γ−1 −1 [3] dT dV + (γ − 1) =0 T V 終状態での空気の温度は、ポアソンの関係式より ( )7/5−1 1 300.15 × ≈ 396[K] 0.5 両辺を積分して、 ln T + (γ − 1) ln V = const. T V γ−1 = const. ∴ pV γ [4](a) ( = const. ∂x ∂y ) ( z ∂y ∂z ) ( x ∂z ∂x ) = −2z 2 y −2 × 4zx−1 × y y 4z = −2z 2 x−1 y −1 = −1 (b) [2] 始状態、終状態の温度をそれぞれ T1 = p1 V1 R , T2 = x, y を独立変数とすると、z の全微分は ( ) ( ) ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x y ∂y x p2 V2 R とすると、気体の内部エネルギー変化は ∫ T2 ∆U = CV dT dx = 0 として、dz で割ると ( ) ( ) ∂y ∂z 1= ∂y x ∂z x T1 = CV (T2 − T1 ) ポアソンの関係式より、 TT21 = [( ∆U = CV T1 V1 V2 [( )γ−1 ( V1 V2 )γ−1 (1) となるのでこれより ] −1 ] ( ∂z ∂y ) =( x 1 ∂y ∂z ) (2) x また、dz = 0 として、(1) 式を dy で割ると ( ) ( ) ( ) ∂z ∂x ∂z 0= + ∂x y ∂y z ∂y x )γ−1 V1 p1 V1 = CV −1 R V2 [( ) ] γ−1 V1 p1 V1 − 1 (∵ Cp − CV = R) = γ−1 V2 (2),(3) 式より、よって ( ) ( ) ( ) ∂x ∂y ∂z = −1 ∂y z ∂z x ∂x y 1 (3)