代数系中間試験

代数系中間試験
注意 (1) 全ての解答用紙に学籍番号と名前を記入すること. (2) 問題 1 題につき, 解答用紙を
1 枚使用すること. (3) 持ち込みの A4 用紙１枚についても, 学籍番号と名前を記入すること.
1. Sn を n 次対称群とする. σ ∈ Sn が偶置換であるとは, σ を互換の積に分解するとき, そ
の分解に現れる互換の個数が偶数であることとする. 奇置換 σ ∈ Sn についても同様に
定義する.
(1) 集合 {−1, 1} は乗法を演算とする群である. Sn の偶置換に対して 1, 奇置換に対し
て −1 を対応させる写像 f : Sn → {−1, 1} は準同型写像であることを示せ.
(2) Sn の偶置換全体を Altn とする. Altn < Sn を示せ.
2. (1) 6100 を 15 で割った余りを求めよ. (答えのみでなく, 証明も述べること.)
(2) 77x ≡ 2 (mod 3) の解を求めよ.
(3) 次を満たす 1 以上 500 以下の自然数を全て求めよ.
3 で割ると 2 余り, 7 で割ると 4 余り, 11 で割ると 5 余る.
3. (1) Z/6Z の群表をつくれ.
(2) Z/8Z の巡回群としての生成元を全て求めよ.
(3) (ボーナス問題. 時間が余った場合はこの問題に答えてよい. 完全な解答を与えた
場合はボーナス得点を与える. ) n を自然数とする. Z/nZ の巡回群としての生成
元を全て求めよ. (答えのみでなく, 証明も述べること.)
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