平面の方程式PDF

第2講
平面の方程式
平面は, 異なる 3 点によって決定されます。この 3
r
C
v
点を A, B, C とし, 平面 ABC に含まれる任意の点を P
A
とおきます。
r
P
B
u
AP = t ¢AB + s ¢AC （ t ¢, s ¢ は実数）
点 P の始点を原点 O に変更すると,
OP - OA = t ¢AB + s ¢AC , OP = OA + t ¢AB + s ¢AC （ t ¢, s ¢ は実数）
ここで, 直線 AB, AC に平行なベクトルをそれぞれ u , v ( u ¹ 0, v ¹ 0 ) とすると,
u , v は互いに平行でなく, u は AB の実数倍, v は AC の実数倍なので, t ¢AB = tu ,
s ¢AC = sv とおくことができ,
OP = OA + tu + sv （t, s は実数）
と表すことができます。
平面のパラメータ表示
点 A を通り, 互いに平行でない 2 つのベクトル u , v を含む平面
OP = OA + tu + sv （t, s は実数）
P ( x , y, z ) , A ( x 0 , y0 , z 0 ) , u = ( a ¢, b¢, c ¢ ) , v = ( d ¢, e ¢, f ¢ ) とおくと,
( x , y, z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + t ( a ¢, b ¢, c ¢ ) + s ( d ¢, e ¢, f ¢ ) （t, s は実数）
《注》パラメータ t, s を消去して x, y, z の関係を求めると, 次式が得られます。
( b ¢f ¢ - c ¢e ¢ ) ( x - x 0 ) + ( c ¢d ¢ - a ¢f ¢ ) ( y - y0 ) + ( a ¢e ¢ - b ¢d ¢ ) ( z - z 0 ) = 0
例題 3 O ( 0, 0, 0 ) , A ( 0, 0, 1 ) , P ( 2 2 , 0, 0 ) , Q ( 2 ,
5 , 1 ) とすると
き, 点 A から平面 OPQ に下ろした垂線の足 H の座標を求めよ。
解
点 H は平面 OPQ 上の点より,
OH = tOP + sOQ = t ( 2 2 , 0, 0 ) + s ( 2 ,
すると, AH = ( 2 2t + 2s,
5 , 1 ) = ( 2 2t + 2s,
5s, s )
5s, s - 1 ) となる。
直線 AH は平面 OPQ に垂直なので, AH × OP = 0 , AH × OQ = 0 より,
2 2 ( 2 2t + 2s) = 0 , 2t + s = 0 ………①
2 ( 2 2t + 2s ) + 5 × 5s + ( s - 1 ) = 0 , 4t + 8s - 1 = 0 ………②
(
①②より, s = 1 , t = - 1 となるので, H 0,
6
12
−1−
)
5 , 1 である。
6
6
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r
n
次に, 点 A を通り, u , v を含む平面に対して, 垂
r
直なベクトルを n ( n ¹ 0 ) とすると,
C
v
A
n × OP = n × ( OA + tu + sv )
P
r
B
u
n × OP = n × OA + tn × u + sn × v
となります。この n を平面 ABC の法線ベクトルといいます。
ここで, n × u = 0 , n × v = 0 から,
n × OP = n × OA , n × ( OP - OA ) = 0
P ( x , y, z ) , A ( x 0 , y0 , z 0 ) , n = ( a, b, c ) とおくと,
a ( x - x 0 ) + b ( y - y0 ) + c ( z - z 0 ) = 0
展開してまとめると, 一般的に, ax + by + cz + d = 0 と表せます。
平面の方程式
点 A ( x 0 , y0 , z 0 ) を通り, ベクトル n = ( a, b, c ) に垂直な平面の方程式
a ( x - x 0 ) + b ( y - y0 ) + c ( z - z 0 ) = 0
《注》パラメータ t, s を消去して導いた方程式と比較すると,
a = b¢f ¢ - c ¢e ¢ , b = c ¢d ¢ - a ¢f ¢ , c = a ¢e ¢ - b¢d ¢
数学 C の範囲になりますが, 行列 A の行列式を detA としたとき,
æ b¢ e ¢ ö
æ c¢ f ¢ ö
æ a¢ d¢ ö
a = det ç
÷ , b = det ç
÷ , c = det ç
÷
è c¢ f ¢ ø
è a¢ d¢ ø
è b¢ e ¢ ø
と表すことができます。
例題 4
解
原点 O と直線 l : x + 1 = 1 - y = z - 4 を含む平面 a の方程式を求めよ。
2
-3
l は A ( - 1, 1, 4 ) を通り, 方向ベクトル u = ( - 3, - 1, 2 ) の直線である。
平面 a の法線ベクトルを n = ( a, b, c ) とおくと, u × n = 0 , OA × n = 0 より,
- 3a - b + 2c = 0 ……①, - a + b + 4c = 0 ……②
①②より, a = 3 c , b = - 5 c となり,
2
2
3
5
n=
c, - c, c = c ( 3, - 5, 2 )
2
2
2
(
r
n
)
A
α
よって, 平面 a の方程式は,
O
r
u
l
3( x - 0 ) - 5( y - 0 ) + 2( z - 0 ) = 0
3x - 5 y + 2z = 0
−2−
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問題 3
平面 a : 2x + 3 y - z - 4 = 0 と平面 b : 4 x - y + 2z - 3 = 0 の交線, および点
( 2, 1, - 1 ) を含む平面 g の方程式を求めよ。
問題 4
点 A ( x 0 , y 0 , z 0 ) と平面 ax + by + cz + d = 0 の距離を h とすると,
ax 0 + by0 + cz 0 + d
h=
a 2 +b 2 + c 2
であることを示せ。
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−3−
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第2講
平面の方程式
問題 3
a : 2x + 3 y - z - 4 = 0 ……①, b : 4 x - y + 2z - 3 = 0 ……②に対して,
まず, z を消去すると, 8x + 5 y - 11 = 0
5 y - 11
x=
………③
-8
β
A
また, y を消去すると, 14 x + 5z - 13 = 0
α
r
u
x = 5z - 13 ………④
- 14
よって, 平面 a と平面 b の交線は, ③④より,
y - 11 z - 13
5 y - 11 5z - 13 x
5 =
5
,
=
x=
=
-8
- 14
5
- 14
-8
すなわち, この交線は点 A 0, 11 , 13 を通り, 方向ベクトル u = ( 5, - 8, - 14 )
5
5
(
の直線となる。
)
(
)
ここで, B ( 2, 1, - 1 ) とすると, AB = 2, - 6 , - 18 = 2 ( 5, - 3, - 9 )
5
5
5
さて, 平面 g の法線ベクトルを n = ( a, b, c ) とおくと, u × n = 0 , AB × n = 0 より,
5a - 8b - 14c = 0 ……⑤, 5a - 3b - 9c = 0 ……⑥
⑤⑥より, b = - c , a = 6 c となり,
5
6
n=
c, - c, c = - c ( - 6, 5, - 5 )
5
5
よって, 平面 g の方程式は,
(
r
n
)
A
γ
B
r
u
- 6( x - 2 ) + 5( y -1 ) - 5( z + 1 ) = 0
- 6 x + 5 y - 5z + 2 = 0
《注》次のような解法もあります。
まず, 平面 b は点 ( 2, 1, - 1 ) を含まないので, 2 平面 a, b の交線を含む平面は,
k を定数として,
2x + 3 y - z - 4 + k ( 4x - y + 2z - 3 ) = 0 ………(＊)
(＊)が点 ( 2, 1, - 1 ) を含むので,
2 ´ 2 + 3 ´1 - ( - 1 ) - 4 + k {4 ´ 2 - 1 + 2 ´ ( - 1 ) - 3 } = 0
よって, 4 + 2k = 0 より k = -2 となり, (＊)に代入すると, 平面 g の方程式は,
2x + 3 y - z - 4 - 2 ( 4 x - y + 2z - 3 ) = 0 , - 6 x + 5 y - 5 z + 2 = 0
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問題 4
点 A ( x 0 , y 0 , z 0 ) を通り, 平面 ax + by + cz + d = 0 ……①に垂直な直線は, その方
向ベクトルの成分を ( a, b, c ) とすることができるので,
( x , y, z ) = ( x 0 , y 0 , z 0 ) + t ( a, b, c ) ………②
A
②を①に代入して,
a ( x 0 + at ) + b ( y0 + bt ) + c ( z 0 + ct ) + d = 0
2
2
H
2
( a + b + c ) t + ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0 ,
ax 0 + by0 + cz 0 + d
よって, t = となり, この値を t = t 0 とおく。
a 2 + b2 + c 2
すると, 垂線の足は H ( x 0 + at 0 , y 0 + bt 0 , z 0 + ct 0 ) と表すことができ,
h = AH =
=
=
=
( x 0 + at 0 - x 0 ) 2 + ( y0 + bt 0 - y 0 ) 2 + ( z 0 + ct0 - z 0 ) 2
t02 ( a 2 + b2 + c 2 ) = t 0
- ( ax 0 + by0 + cz0 + d )
×
a 2 + b2 + c 2
ax 0 + by0 + cz0 + d
a 2 + b2 + c 2
a 2 + b2 + c 2
a 2 +b2 +c 2
《注》上の式は「点と平面の距離」の公式と呼ばれています。
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