θ θ θ v θ θ θ θ ˆ 4 qqr πε = F πε πε πε

「応用力学同演習」問題(08)
学籍番号
2014.06.09
氏名
得点
重力加速度の大きさを g とせよ．
y
Q1: 質量 m のブロックが角度の斜面に置かれ，バネ定数 k，自然長 L
のばねに付けられた皿に乗っている．おもりは皿に押し付けられ，x
0
だけ縮んでいる．以下の問いに答えなさい．
(1) 図の位置を高さの基準として，系の力学的エネルギーを答えよ
(10)．

力学的エネルギーはばねのポテンシャルエネルギーと重力ポテン
シャルエネルギーの和．重力ポテンシャルエネルギーがマイナスであることに注意．
1 2
kx  mgx sin 
2
(2) 押し付ける手を離すとばねがのびおもりが飛び出す．ばねが自然長になったときのおもりの速さを
求めよ．
ばねが自然長のとき，全力学的エネルギーは運動エネルギーのみ．
てv 
1 2
1
kx  mgx sin   mv 2 を解い
2
2
kx 2
 2 gx sin 
m
(3) おもりの最高点の高さを求めよ(10)．
飛び出した瞬間の y 方向速度は v sin  で，y 成分のエネルギー保存則を考える．

1  kx 2
m
 2 gx sin   sin 2   mgymax
2  m

→
 kx 2

ymax  
 x sin   sin 2 
 2mg

Q2:質量 1,500kg の自動車が時速 100km で走行中，1.0m/s2 の加速を始めた．空気抵抗は無視して，この
ときのエンジンの仕事率(パワー)を求めよ(10)．
F=ma からエンジンが出す力がわかる．仕事率 P=Fv．答： 42kW(約 55 馬力)
Q3: 一次元の座標 r 軸上で，電荷 q2 が電荷 q1 から受ける静電気力は F 
から r=b まで動かした時，静電気力がした仕事を求めよ (10)．
b
q1q2
qq
dr  1 2
2
4

r
4
 0
0
a
W 
b
q1q2  1 1 
 1
  r   4  a  b 
 a

0 
q1q2
rˆ と与えられる．q2 を r=a
4 0 r 2

 

Q4: F  x2  y i  y 2  x j と表される力場がある．
2.5
(2, 2)
2.0
(1) 場は保存力場であることを証明せよ(10)．
1.5
Fy

x
Fx
を示せば良い．計算するとどちらも 1 なので，系にはポテン
y
シャルエネルギーが存在する．
(2) 原点(0, 0)にある物体を座標(2, 2)まで動かした．F がした仕事を求め
よ (10)．ヒント：保存力場のした仕事は経路によらない．
1.0
0.5
(0,0.0 0)
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
任意の経路で力を積分して，負号をつける．座標軸に沿って，図の経路で積分すると Fx と Fy を別々に
考えることができるので簡単だろう．
2
2
0
0
W   x 2 dx    y 2  2  dy 
4
[J]
3
Q5: 地球の中心から半径 r の円軌道を回る人工衛星がある．万有引力定数を G，地球の質量を Me，衛星
の質量を m として，以下の問いに答えよ．
(1) 衛星のポテンシャルエネルギーを求めよ．ポテンシャルの原点は無限遠方をゼロとする(10)．
公式通り． U  G
mM e
．
r
(2) 衛星の全力学的エネルギーを求めよ(10)．
運動エネルギーは K 
K
M
mM
1 2
mv で，向心力が Fr  G 2 e ここから運動速度は v  G e だから代入して
r
2
r
GmM e
GmM e
と，ちょうどポテンシャルエネルギーの半分の大きさ．足して全エネルギーは 
．
2r
2r
Q6: 動摩擦係数 0.1 の床面で，図の様にばね定数
x=0
1.0 N/m のばねにつないだ質量 1.0kg のおもりを置
x
く．ばねが平衡の長さであるときのおもりの位置
を x=0 とする．おもりをひもで引き，x= –0.1 m の
A 点から x=0.1 m の B 点までゆっくり動かした．
0.2 m
重力加速度の大きさを 9.8 m/s2 として，ひもを引く力がした仕事を答えなさい(10)．
ひもを引く力はばねの弾性力と摩擦力につりあっている．x= –0.1 m から x= 0.1 m の移動で弾性エネル
ギーの収支はゼロだから，ひもを引く力が弾性力にさからってした仕事もゼロ．したがって，摩擦力が
した仕事に負号を付ければ良い． W   mgx  0.20J

Download Report