2014年度後期数学 C 確認問題 11（解答） 11．フーリエ変換の応用2

2014 年度後期数学 C 確認問題 11（解答）
2015 年 1 月 6 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
11．フーリエ変換の応用２：波動方程式の初期値問題
問 11.1 関数 f = f (x) : R → C は R 上絶対可積分で，微分可能かつ f ′ も R 上絶対可積分であるとする．こ
のとき，
F[f ′ ](ξ) = iξF[f ](ξ)
を示せ．
[解] 部分積分により，
∫ ∞
1
√
F[f ](ξ) =
f ′ (x)e−ixξ dx
2π −∞
∫ ∞
1
d
√
=−
f (x) e−ixξ dx
dx
2π −∞
∫ ∞
1
√
f (x)e−ixξ dx
= iξ
2π −∞
= iξF[f ](ξ).
′
問 11.2 関数 u = u(x, t) が波動方程式
2
∂2u
2∂ u
(x,
t)
−
c
(x, t) = 0
∂t2
∂x2
を満たすとき，u のフーリエ変換 u
ˆ(ξ, t) は
∂2u
ˆ
(ξ, t) + c2 ξ 2 u
ˆ(ξ, t) = 0
∂t2
を満たすことを確かめよ（形式的な計算でよい）．
[解]
[
F
]
∫ ∞ 2
∫ ∞
∂2u
1
∂2 1
∂2u
ˆ
∂ u
−ixξ
√
√
(ξ)
=
(x,
t)e
dx
=
u(x, t)e−ixξ dx = 2 (ξ, t).
2
2
2
∂t
∂t
∂t
2π −∞ ∂t
2π −∞
次に，問 11.1 の結果を 2 回使うと，
[
F
]
[ ]
∂u
∂2u
(ξ)
=
iξF
(ξ) = (iξ)2 F[u](ξ) = −ξ 2 u
ˆ(ξ, t).
∂x2
∂x
従って，
[
0=F
]
[ 2 ]
[ 2 ]
2
∂2u
∂ u
∂ u
∂2u
ˆ
2∂ u
2
−
c
=
F
−
c
F
=
(ξ, t) + c2 ξ 2 u
ˆ(ξ, t).
2
2
2
2
2
∂t
∂x
∂t
∂x
∂t
1
問 11.3
{
χ[−ct,ct] (x) =
1, −ct ≤ x ≤ ct,
0, それ以外
とおく（このような関数を区間 [−ct, ct] の定義関数とよぶ）．このとき，
√
F[χ[−ct,ct] ](ξ) =
2 sin(cξt)
π
ξ
が成立することを示せ．
[解] オイラーの公式
e−ixξ = cos(xξ) − i sin(xξ)
より，
∫ ct
1
F[χ[−ct,ct] ](ξ) = √
e−ixξ dx
2π −ct
∫ ct
1
=√
cos(xξ)dx
2π −ct
[
]ct
sin(xξ)
1
=√
ξ
2π
−ct
(
)
1
sin(ctξ) sin(−ctξ)
√
=
−
ξ
ξ
2π
√
2 sin(ctξ)
=
.
π
ξ
2

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