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２０１４年度
中京大学
経済学部
一般推薦
午前
数学基礎学力型問題
１．
(1)

(2)
z 4  16a 2  ( z 2  4a 2 )( z 2  4a 2 )  ( z 2  4a 2 )( z  2a)( z  2a)
(3)
x  4  4 より
(32  42 ) x2
 
2
x  4  4
25 x2
または

2
 (5 x )2  25 x2
4 x4
よって，求める解は
x  0, 8  x
2x 2  8x  8  0
(4)
両辺を 2 で割って
x 2  4x  4  0
よって
(x  2) 2  0
したがって， x  2 だけが解である。
２．
(1)
y   x 2  2ax  4a  1
 ( x 2  2ax)  4a  1
 {( x  a) 2  a 2 }  4a  1
 ( x  a) 2  a 2  4a  1
よって， y が最大になるのは x  a のときで
m  a 2  4a  1
(2)
m  ( a  2) 2  4  1  ( a  2) 2  3
であるから， m の最小値を与える a の値は
a  2
(3)
m  0 より
a 2  4a  1  0
…………①
この a の 2 次方程式の判別式を D とすると
D
 22  11  3  0
4
よって，①すなわち m  0 となる実数 a が存在する。
３．
(1)
△ABC 
1
AB・AC sin ∠BAC
2

1
 4  3 sin 60°
2

1
3
 43
2
2
3 3
M は BC の中点であるから
△ABM 
(2)
1
3 3
△ABC 
2
2
△ABC において，余弦定理より
BC2  4 2  32  2  4  3 cos 60°
 16  9  12
 13
BC>0 より，BC  13
M は BC の中点であるから，BM 
(3)
13
2
AM の延長上に DM＝AM となる点 D をとると，
四角形 ABDC は平行四辺形であるから
∠ABD＝120°，BD＝AC＝3
三角形 ABD において，余弦定理より
AD2  4 2  32  2  4  3 cos 120°
 16  9  12
 37
AD>0 より，AD  37
M は AD の中点であるから，AM 
37
2
また，(1)より△ABC  3 3 であるから
1
 4  13 sin ∠ABC  3 3
2
ゆえに， sin ∠ABC 
3 3
2 13
三角形 ABM の外接円の半径を R とすると，正弦定理より求める直径は
2R 
AM
37 2 13
1443
AM




2 3 3
9
sin ABM sin ABC

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