微分方程式中間テスト 1 枚目学籍番号氏名点数平

微分方程式中間テスト 1 枚目
学籍番号氏名点数平均点 60.87 点最高点 106 点次の微分方程式を解きなさい (初期条件がないものは一般解を, あるものは特殊解を求めよ.). (50 点(注 1) )
dy
1
dy
(1)
=
(2)
= e2y cos x, y(0) = 1
2
dx y(x − 1)
dx
dy
y
dy
(3) x
= y + x tan , y(1) = π2 (4) (1 + x2 ) dx
= y + tan−1 x
dx
x
dy
1
1
解答例 (1) y dx
= 12 x−1
− x+1
と変形して両辺を x で積分すれば,
1 2 1
x − 1 + C0 (C0 は任意の定数)
y = log 2
2
x + 1
+ C (C は任意の定数(注 2) ).
となる. 2C0 = C とおけば, y2 = log x−1
x+1
dy
(2) e−2y dx
= cos x と変形して両辺を x で積分すると,
1
−
e−2y
= sin x + C
2
(C は任意の定数)
となる. よって, −2y = log(−2 sin x + C), すなわち, y = − 12 log(−2 sin x + C) を一般解として得る (−2C0 = C
1
−2
とおいた.). 初期条件より
, 1 = y(0) = − 2 log C. これを解くと log C = −2 より C = e となる. よって,
y = − 12 log −2 sin x + e12 .
dy
dy
dv
(3) dx
= yx + tan yx とおけば同次形に変形されたことになる. yx = v とおけば, y = xv であるから, dx
= v + x dx
.
dv
dv
これをに代入すると, v + x dx = v + tan v となる. これをさらに変数分離形 x dx = tan v に変形する. 両辺を x で
積分すると,
Z
Z
1
1
dv =
dx = log |x| + C0 (C0 は任意の定数).
tan v
x
となる.
Z
Z
Z
1
cos v
(sin v)0
dv =
dv =
dv = log | sin v|
tan v
sin v
sin v
であるので,
sin v = C0 .
log x v = yx を代入して, log 1x sin yx = C0 となる. ±eC0 = C とおけば, 1x sin yx = ±eC0 = C. よって, sin yx = Cx, すなわち,
y
= sin−1 (Cx) である. したがって, 一般解 y = x sin−1 (Cx) が得られる. 初期条件 π2 = y(1) = π2 より, C = 1 となる
x
ので, y = x sin−1 x.
dy
1
tan−1 x
(4) dx
− 1+x
2 y = 1+x2 と変形しておく. この式を
!
R 1
R 1
R 1
R 1
1
1
−
dx 0
−
dx 0
−
dx
−
dx 0
2
2
2
1+x2
(e 1+x y) = e 1+x y + e 1+x
−
y
=
e
(y −
y)
2
1+x
1 + x2
R 1
R 1
R 1
−1 x
の右辺に代入すると, (e− 1+x2 dx y)0 = e− 1+x2 dx tan
となる
.
dx = tan−1 x + C1 (C1 は任意の定数) であるので,
2
1+x
1+x2
−1
−1
−1
x
(etan x y)0 = e− tan x tan
. 両辺を x で積分すると,
1+x2
(
)
Z
Z
1
− tan−1 x
− tan−1 x 0
−1
− tan−1 x
−1
− tan−1 x
e
y = − (e
) tan xdx = − e
tan x − e
dx
1 + x2
−1
−1
−1
= − e− tan x tan−1 x + e− tan x − C = −e− tan x (tan−1 x + 1) + C
(C は任意の定数)
となる. 以上により, 一般解は, y = − tan−1 x − 1 + Cetan
(注 1)
(注 2)
−1
(1), (2) は 10 点, (3), (4) は 15 点.
C0 は任意の定数なので C = 2C0 も任意の定数と考えてよい.
x
となる (C は任意の定数).
2
次の問いに答えよ.
(1) 微分方程式 (sin x + sin y)dx + (ey + x cos y)dy = 0 を解きなさい.(10 点)
(2) 微分方程式 (x3 y + xy3 + 2xy)dx + (x2 + 3y2 )dy = 0 の積分因子を 1 つ求めよ(注 3) .(10 点)
解答例 (1) P(x, y) = sin x + sin y, Q(x, y) = ey + x cos y とおくと, Py (x, y) = cos y, Q x (x, y) = cos y であるから,
Rx
Ry
与えられた微分方程式は完全である. よって, u(x, y) = a P(x, y)dx + b Q(a, y)dy とおくと, u(x, y) = C (C は任意
の定数) が一般会となる. a, b はなんでもいいので, a = b = 0 として一般解を求めると,
Z x
Z y
y y=y
C = u(x, y) =
(sin x + sin y)dx +
ey dy = [− cos x + x sin y] x=x
x=0 + [e ]y=0
0
0
= − cos x + x sin y − (−1) + e − e = − cos x + x sin y + ey
y
0
を得る (C は任意の定数).
(2) P(x, y) = x3 y + xy3 + 2xy, Q(x, y) = x2 + 3y2 とおくと, Py (x, y) = x3 + 3xy2 + 2x, Q x (x, y) = 2x であるから, 与
えられた微分方程式は完全ではない.
Py (x, y) − Q x (x, y) x3 + 3xy2
=x
= 2
Q(x, y)
x + 3y2
R
であるから, x のみの関数である. よって, 積分因子は λ = e
xdx
x2
= e 2 である(注 4) .
1 2
時間のある人は，一般解も求めよ. 正解していれば加点します. →ちなみに答えは e 2 x y(x2 + y2 ) = C (C は任意の定数) となりま
す. 部分点は付けませんでしたが，正解している人には 10 点加えておきました.
(注 3)
R
x2
「λ = e xdx = e 2 +C (C は任意の定数), なのではないですか？」と思われる方もおられるかもしれませんが, 積分因子は完全でな
い微分方程式を完全にするものなので, その役割を果たすものはひとつ求めればよく, C = 0 のものだけ考えておけば十分，と解釈す
るとよいでしょう.
(注 4)
微分方程式中間テスト（2015 年） 2 枚目
学籍番号氏名 dy
3
(1) ベルヌーイ型の微分方程式 dx
+ P(x)y = Q(x)yn は z = y1−n とおくことで
の形に変形できることを確かめなさい.（10 点）
dy
(2) 初期条件 y(0)100 = 12 のもとで dx
+ x99 y = x99 y101 を解きなさい. (10 点)
解答例 (1) z =
1
yn−1
dz
dx
+ (1 − n)P(x)z = (1 − n)Q(x)
= y1−n であるから, z0 = (1 − n)y−n y0 . 従って,
dz
(1 − n) 0
1
1−n
1−n
+ (1 − n)P(x)z =
y + (1 − n)P(x) n−1 = n (y0 + P(x)y) = n Q(x)yn = (1 − n)Q(x).
n
dx
y
y
y
y
(2) (1) より, z =
1
y100
とおくことで, z0 − 100x99 z = −100x99 に変形できる.
(e−x z)0 = e−x (−100x99 )z + e−x z0 = (z0 − 100x99 z)e−x
100
100
100
100
= −100x99 e−x
100
であるから，両辺を x で積分すると,
e
よって, z = 1 + Ce x . z =
y100 = 1x100 .
100
1+e
1
y100
−x100
Z
であるので, y100 =
x99 e−x dx = e−x
100
z = −100
1
z
=
1
100 .
1+Ce x
100
+ C.
初期条件 y(0)100 =
1
1+C
=
1
2
より C = 1. よって,
4 (1) p = y000 とおいて, 4 階微分方程式 y0000 − 2y000 = 0 を解きなさい (10 点).
解答例 p = y000 とおけば y0000 − 2y000 = 0 は ddxp = 2p と変形される. これをさらに 1p · ddxp = 2 と変数分離形に変
形する. 両辺を x で積分すると, log |p| = 2x + C0 (C0 は任意の定数) となる. よって, p = ±e2x+C0 = C1 e2x である
(ここで, C1 = ±e2C0 とおいた). すなわち, y000 = C1 e2x である. これを x で 3 回積分すると, 順に y00 = C21 e2x + C2 ,
y0 = C41 e2x + C2 x + C3 , y = C81 e2x + C22 x2 + C3 x + C4 (C1 , C2 , C3 , C4 は任意の定数) となる. 定数を取り直してシンプ
ルに表すと, 一般解は y = C1 e2x + C2 x2 + C3 x + C4 (C1 , C2 , C3 , C4 は任意の定数) と表せる.

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