連続体力学と地盤力学

連続体力学と地盤力学
（2015 年版)
(株)地域地盤環境研究所
中井照夫
Islamic University of Technology
Hossain Md. Shahin
-1-
地盤力学
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
地盤力学の基礎
ベクトルとテンソルの基礎
連続体力学基礎（微少変形）
連続体力学と土質力学
有効応力
透水（１次元および２次元）
１次元変形（１次元圧密）
教科書：「地盤力学」柴田徹編著、東京電機大学出版局
参考書：「連続体力学入門」田村武著、朝倉書店
「土質力学」山口栢樹著、技報堂出版
地盤力学・地盤解析学・地盤工学とは
地盤力学（土質力学）
Geotechnics (Soil Mechanics)
• 地球の表層材料の力学特性の解明と工学への
応用を扱う学問
• 力学、材料力学
鉄、水はわりあい判っている。均質
しかし土は・・・・
共通ー数学の知識（線形代数、微積分・・・）
• 工学(Engineering):
我々の生活に役立つ
経験則 → その理由を定性的・定量的に説明 → 普遍的な法則
自己満足な学問ではない（社会のニーズ）
-2-
地球の内部
-3-
地盤力学・地盤工学で扱う内容
• 地盤防災工学
-4-
– 液状化、地滑り、地盤沈下、etc
• 基礎工学
– 支持力、ダム、トンネル、山留め掘削、地盤の
補強、埋立、etc
• 地盤環境工学
– 地下水汚染、拡散 → リハビリ、再生
いかに安全に、経済的に
-5-
土の組成と性質
• 三相混合体
土粒子＋水＋空気
固体
液体
気体
• 密度によって液体から固体まで
• 粒状体としての性質
• 不均質
-6-
土の単位体積重量
volume
weight
air
e
eSr
1
water
0
Gsw・w
eSr・w
substance
n
e
1 e
Gsw
Gs  eS r
w
1 e
G (1  w)
w
 s
1 e
G e
 sat  s
w
1 e
G
d  s w
1 e
eS r  Gs  w
t 
-7-
土の粒度
粒度：小
粒度：大
0.005
0.001
コロイド
粘土
2.000
0.075
シルト
砂
(%)
100
通過重量百分率
30
10
0
D10
礫
 D50

U 
 c



 U c 





60
50
D60
D30 D50
75.000
(mm)
石
（平均粒径）
D60
D10
（均等係数）
 D30 


D
D
  10 
D60 D10  D60 


 D30 
2
30
（曲率係数）
粒径 (log scale)
U c  10 & U c  1～3 : 良配合
-8-
粘土と砂の違い
土粒子比重
粒径
間隙比
砂
大略2.5～2.7
粘土
同じ
大
小
通常0.5～1.0程
度
幅があるが砂より
は通常大
透水性
大
小
水分の影響
（界面活性）
小
大
-9-
土のコンシステンシー
含水ｲﾋ(w) よる土の性質の違い
w:小
w:大
固体
可塑体
半個体
wS
カチカチ
（ビスケット）
wP
パサパサ
（チーズ）
ベトベト
（バター）
液体
wL
ドロドロ
（コンソメ）
I P  wL  wP （塑性指数）
wn  wP


I
（液性指数）
 L
I

P
I  1  I
（コンシステンシー指数）
L
 C
-10-
ベクトル
x2*(e2*)
*
 p1   p1 
p  OP     * 
 
 p2   p2 
p
p*
x2(e2)
p 1* 
P

O
x1*(e1*)
x1(e1)
p
*
2
(1)
p 1 cos   p 2 sin 
  p 1 sin   p 2 cos 
p*  T p
(vector)
 cos sin  

T  

sin
cos




A*  A
(scalar)
(3)
(4)
(5)
(2)
-11-
ベクトルの内積
a  ()ai e i  ()ai*e*i
i
b  ()bi e i  ()bi*e*i
i
i
i
(ab)  ()ai ei ()b j e j
i
j
N . B.
 ( )ai b j ei e j
i
 a1 
a     ()ai e i
i
 a2 
j
 ( )ai b j ij
i
j
 ()ai bi
i
(ab)  aT b  bT a  (ba)
-12-
テンソル(1)
 p1*   cos sin   p1 
 
 
 p *    sin 
cos

 p2 
 2
p*  T p
x2(e2)
x2*(e2*)
R
P

O
x1*(e1*)
x1(e1)
 r1*   cos sin   r1 
 
 
 r *    sin 
cos  r2 
 2
r *  Tr
ここで、ベクトルpに作用してベクトルrを作る行列Qを考える。
r  Qp
r *  Q* p*
-13-
テンソル(2)
r*  T r  T Q  p
r *  Q*  p *  Q*  T  p
したがって、
Q*  T  T  Q 
Q*  T  Q  T 1  T  Q  TT
のように座標変換される行列Qをテンソルと定義する
A*  A
( scalar )
pi*  Tij p j
p*  T  p (vector )
Qij*  Tik T jlQkl Q*  T  Q  T T (tensor : 2nd order )
-14-
テンソル（３）
(a  b)c  ( ai e i   b j e j )  ck e k
i
j
k
    ai b j ck (e i  e j )e k
i
j k
    ai b j ck e i jk
i
j k
  ai e i  (b j ck  jk )
i
j k
  b j c j  ai e i
j
i
 b j c j ai e i
 (b  c)a
(a  b)   ai e i   b j e j    ai b j e i  e j
i
j
i
j
a 
a b a b 
  1 (b1 b2 )   1 1 1 2 
 a2 
 a2b1 a2b2 
-15-
応力テンソル(1)
22
21
11
b
12
A
x2 (e2) 12
a
21
均一な応力場にある要素（あるいは応力の場
所的違いが無視できる大きさの要素）を考え、
要素の各面に働く単位面積あたりの垂直力お
よびせん断力を左図のように定義する。ここに、
xi を法線とする面と-xi を法線とする面に作用す
る力は作用反作用の法則より向きが逆で大き
さが等しくなる。これを行列表示して、
  
σ   11 12 
あるいは  ij
  21  22 
A点まわりモーメントのつり合いより
a
b
( 12  b)   2  ( 21  a )   2 より
2
2
11
 12   21
したがって、 T= 
22
x1 (e1)
-16-
応力テンソル(2)
t 
t   1 
 t2 
C

11
x2 (e2)

均一な応力場にある三角形要素の面の法線
方向の単位ベクトルをn とし、その面の単位面
積に作用する力（応力ベクトル）を t とする。こ
こに、BC:AC:AB=1: cos: sin=1:n1:n2 より次
のつり合い式が成り立つ
 n   cos 

n   1   
n
sin


 2 
12
t1   11n1   21n2 ,
t 2   12 n1   22 n2
すなわち
t  σ T n あるいは　ti  () ji n j
j
A
B
21
22
また、σ T  σより
t  σ n あるいは　ti  () ij n j
j
x1 (e1)
したがって、 (ij) はテンソル(対称テンソル)
の性質を持っていることがわかる。
-17-
運動と変形(1)
dx  dX
dx
dx 
x
dX
X
or
dx
dX
dx  dX
dxi  ()
j
F
dx
x
X
xi
dX j
X j
or Fij 
dx  dX
-18-
運動と変形(2)
2
2
dx  dX  dxT dx  dX T dX
 ( FdX )T ( FdX )  dX T dX
 dX T FT FdX  dX T dX
 dX T CdX  dX T dX
 dX T (C  I)dX
ここに、
E
1
(C  I ) を変形したかどうかの指標とする。
2
T
1 T
1   x   x  
E  ( F F  I)  
 
I
2
2   X   X  
or
Eij 
xi
X j

1  xk xk
  ij 

2  X i X j

-19-
運動と変形(3)
x  u  X とすれば
T
1   x   x  
E 
 
I
2   X   X  
T
1   u
 
  u
 I  I
 I 
 
2   X   X  
T
T
1   u 
u  u  u 
 

 
 
2   X  X  X  X 
T
1   u 
u 
 

 ε （微少変形）

2   X  X 
or
1  u
u 
 ij   i  j 
2  X j X i 
-20-
運動と変形(4)
Taylor展開
f ( x1  dx1 , x2  dx2 ,  )
 f ( x1 , x2 ,  ) 
 1
f
f
1  2 f
2 f
2 f
2
2
dx1 
dx2       2 dx1 
dx
dx1dx2           

2
2
2
x1
x2
2!  x1
x1x2
x2
 3!
 f ( x1 , x2 ,  ) 
f
f
dx1 
dx2    
x1
x2
C’
D’
D
dx2
x2 (e2)
C
u1
x2
B’
A’
u2
x1
A (x1, x2)
B
dx1
x1 (e1)
ui ( x1 , x2 )
u( x1 , x2 )


 ui | A  ui ( x1 , x2 )
 u |  u ( x  dx , x )
1
2
 i B i 1
ui

u
x
x
dx1
(
,
)


1
2
i

x1

 ui |C  ui ( x1  dx1 , x2  dx2 )

u
u

 ui ( x1 , x2 )  i dx1  i dx2

x1
x2

 ui |D  ui ( x1 , x2  dx2 )

u
 ui ( x1 , x2 )  i dx2

x2

-21-
運動と変形(5)
u1 |B u1 |C u1 | A u1 |D

u
2
2
 1
11 
x1
dx1
同様に
u
 22  2
x2
Aの減少量を考える　(Cの減少、　B, D の増加でも同じ）
u u
 12  1  2
x2 x1
1
テンソルとして表現するために 12   12 として
2
1  u u 
 ij   i  j 
2  x j xi 
-22-
運動と変形(6)
1次元変形
単純せん断
x=l1
x2
x=0: u=0

x=l0: u=ulo
ulo
l0
u ( x)  ax  b 

x1
ulo
x
l0
du ulo

dx l0
N .B.
l
  l 1
0

dl
l
l
ln l l10  ln 1
l
l0
   12  212
-23-
運動と変形(7)
D (x1D, x2D)
uD=(u1D, u2D)
C(x1C, x2C)
uC=(u1C, u2C)
ui ( x1, x2 )  ai x1  bi x2  ci
 u1  a1 x1  b1 x2  c1 


 u2  a2 x1  b2 x2  c2 
x2
B (x1B, x2B)
uB=(u1B, u2B)
A (x1A, x2A)
uA=(u1A, u2A)
x1
•△ABCおよび△ACDのひずみは？
•□ABCDのひずみは？・・・ △ABCとACDのひずみ
を面積比で平均化
-24-
つり合い式(1)
応力が場所的に滑らかに変化する応力場=ij(x1, x2)を考え、単位volume あ
たりの物体力をF=Fi (x1, x2)とする.ここで、(x1, x2)でn=niを法線とする面に作用
する応力ベクトルをt=tiとすれば
t  σT n
したがって
ti   ji n j
t   ij (e j  e i )  nk e k
  ij e j nk  ki
 11 (e1 )
 12 (e 2 )
x1 (e1)
n  e1 では t   11 (e1 )   12 (e 2 )
n  e 2 では t   21e1   22e 2
n  e 2 では t   21 (e1 )   22 (e 2 )
  ij ni e j
x2 (e2)
n  e1 では t   11e1   12e 2
 12e 2
 11e1
-25-
つり合い式(2)
  11  12 
 として要素ABCDに働く応力ベクトルと物体
点Aでの応力を σ  


 21 22 
力ベクトルの大きさと方向を示すと
 22 
 11 
 12 
C(x1+dx1,x2+dx2)

 dx
 12  12 dx1  12 2
D(x1,x2+dx2)
 11 dx2
x2 2
(F1,F2)
 12 dx2
x2 2
x2(e2)
 22 dx1  22

dx2
x1 2
x2
 dx 
 21  21 1  21 dx2
x1 2
x2
A(x1,x2)
 21 
dx2
dx1
 21 dx1
x1 2
 22 
x1
x2 2
 11
 dx
 11 
dx1  11 2
x1
x2 2
B(x1+dx1,x2)
 22 dx1
x1 2
x1(e1)
つり合い式(3)
x1方向のつり合いは



 dx 
 dx 
11  11 dx1  11 2 dx2  11  11 2 dx2
x1
x2 2 
x2 2 





 dx 
 dx 
  21  21 1  21 dx2 dx1   21  21 1 dx1
x1 2
x2
x1 2 



 F1dx1dx2  0
11  21

 F1  0
x1
x2
同様にx2方向のつり合いは
12  22

 F2  0
x1
x2
両式をまとめれば
()
i
 ij
xi
 Fj  0
-26-
-27-
つり合い式(4)
1次元問題
1
 (e)  ( 
 (e)
d
  0
dz
d
dz )e   e  dz  0
dz
z(e)
z=z
e
z=z+dz
 d      dz
   z  c
d
( 
dz )e
dz
z=l
We
 boundary condition :




W
at
z

l


   z  W   l
 W   (l  z )
-28-
つり合い式(5)
圧縮を正とする場合（e.g.土質力学）
応力ベクトルの向きを逆に考えればよいから
 t1 
t     t1 (e1 )  t 2 (e 2 )  ti (e i )
 t2 
  
σ   11 12    ij (e i  (e j ))
  21  22 
t   ij ((e j )  e i )  nk e k
 12e 2
x2 (e2)
 11e1
  ij (e j )nk  ik
 12 (e 2 )
  ij ni (e j )
図のようにijの各成分の方向を引
張りを正とする場合の逆に考えれば
よい。
 11 (e1 )
x1 (e1)
-29-
つり合い式(6)
1次元問題(圧縮を正）
We
z=0
 e  ( 
d
  0
dz
e
z(e)
z=z
 d     dz
e
  zc
z=z+dz
( 
z=H
d
dz )(e)   e  dz  0
dz
 boundary condition :




W
at
z

0


   z W
d
dz )(e)
dz
1
-30-
有効応力(1)-1次元
1
WA  0
WB  0
z0
pw  0
zz
P
B
A
有効応力(2)-1次元
-311
Gs  eS r
 w z tz
1 e
G  eS r
WB  s
 w z tz
1 e
pw  0
WA 
z0
z
zz P
B
A
有効応力(3)-1次元
z0
z
zz P
B
A
-321
Gs  e
 w  z   sat z
1 e
1


V
z


s

1  e 
G
1
WB  s  w  z 
wz
1 e
1 e
G 1
 s wz
1 e
 ( sat   w ) z
WA 
pw   w z
有効応力(4)-1次元
-331
Gs  e
 w  z   w  hw
1 e
  sat z   w  hw
WA 
hw
z0
hw
Gs
1
wz
wz
1 e
1 e
G 1
 s wz
1 e
 ( sat   w ) z
WB 
z
zz P
pw   w ( z  hw )
B
A
有効応力(5)-1次元
q
-341
q
z0
z
zz P
Gs  e
 w  z  q   sat z  q
1 e
G
1
WB  s  w  z 
wz
1 e
1 e
G 1
 s wz
1 e
 ( sat   w ) z
WA 
pw   w z  q
t 0
B
A
-35-
有効応力(6)-1次元
1
q
q
Gs  e
 w  z  q   sat z  q
1 e
G
1
WB  s  w  z 
wzq
1 e
1 e
G 1
 s wzq
1 e
 ( sat   w ) z  q
pw   w z
WA 
z0
z
zz P
t 
B
A
-36-
有効応力(7)
WA= と考えられるので, WB=’ とすれば常に
   ' pw
WB=’ （有効応力）は土を連続体としてみたときの土粒子間に働く力を平
均化したものであり、土の変形や破壊が土粒子間の相対変位により起こる
とすれば土の変形・強度特性がこの有効応力に支配されるのがわかる。
ここでは一次元で有効応力式の説明をしたが、多次元であっても垂直応力
成分について成り立つことは明らかである。また、間隙水が静止あるいゆっ
くりした動きしかしないときは等方圧となるので、せん断応力成分については
 '
したがって、多次元では
σ  σ ' pwI
or
また、水圧ｐｗは
pw  u s  ue
静水圧過剰間隙水圧
 ij   'ij  pw ij
変位と混同しないかぎり、pwのかわり
に水圧としてu を使うこともある
-37-
有効応力(8)
2相混合体
+
実際の土
土（連続体）
水（連続体）
のように考える。つまり土の変形も水の流れもそれぞれ空間的に連続と
考える（1つの場所が2つのスクリーンを持っていると考えればよい）。そ
して土の変形・強度は‘で水の動きはuによって決められる。
-38-
1次元透水問題(1)
つり合い式（応力は引張りを正）
v
x2


F 0

水圧uは圧縮を正として、単位体積あたりの物体力
をFとすれば
  u

(1)
( 2)
F c   av
F s    w sin 
F  F c  F s  av   w sin 
x1
v
v( n  v)
(3)
土粒子間を流れる水は土粒子との粘性抵抗により流
れの反対方向に抵抗力を受ける。この抵抗力は速度
に比例する（ニュートン粘性）。これを空間的に連続な
水の動き(連続体としての速度 v )に置き換えると単位
体積あたりの抵抗力（これは物体力の一つ）Fは
F c  av
-39-
1次元透水問題(2)
(1),(2),(3)式より
u
 av   w sin   0

v


 1  u
  w sin  

a  

   u

w  u
   sin   C   w 
  x2  C 

a    w
 a    w

k
hp
he
 h 
 k  t 
  
Darcy 則
ht  h p  he
i
k : 透水係数
 ht : 全水頭(total head)

 h p : 圧力水頭(pressure head)
 h : 位置水頭(elevation head)
 e
-40-
1次元透水問題(3)
v  v( )
  d  v  v d 


要素からの流出量は
v
d  A    d  A


x2
v
dv

d
湧き出しや蒸発がなければ、
dv
0

v  const.
d
A

x1
dv
d   dht

k   
d  d    d 
 
  0
 
ht  a  b

d 2 ht
d 2
0
-41-
1次元透水問題(4)
圧縮応力（全応力）を正とすれば、つり合い式（土粒子
部分＋間隙水）
  d



d

 (e)

F 0

(1)
有効応力式
   ' u
x2(e2)

(2)
間隙水圧

u   w ht   w ( sin   c)   w ht   w ( x2  c) (3)
x1(e1)
動水勾配
i
ht

(4)
(1), (2)式より
 ' u

F 0
 
1次元透水問題(5)
(3)式を代入してかきくだすと
h
 '
  w t   w sin   F  0


where F   sat sin 
(4)式を用いてまとめると
h
 '
  w t  ( sat   w ) sin   0


 '
  wi  ( sat   w ) sin   0


-42-
-43-
１次元透水問題(6)
下向きにz軸をとる鉛直方向の1次元問題では   90 として
d '
e  ( sat   w )e   wie
dz
d '
 ( sat   w )   wi
dz
'
 '  ( ' wi ) z  c'
z=0
z(e)
z  0 :    '  u  0 より
 '  ( ' wi ) z
したがって
i
'
の時  '    u  0
w
(piping)
-44-
２次元透水問題(1)
間隙水圧をu  u ( x1 ,x2 )とした時の2次元でのつり合い式は
x2 (e2)
v
 u
 x  F1  0
 1
 u
 x  F2  0
 2
or
u
F  0
x
  av1 
c

F


x1 (e1)
  av2 
 av1

F  Fc  Fs  

 av2   w 
(1)
v 
v 1 
 v2 
v
v( n  v)
 0
Fs  

  w 
(2)
土粒子間を流れる水は土粒子との粘性抵抗により流
れの反対方向に抵抗力を受ける。この抵抗力は速度
に比例する（ニュートン粘性）。これを空間的に連続な
水の動き(連続体としての速度 v )に置き換えると単位
体積あたりの抵抗力（これは物体力の一つ）Fcは
Fc  a  v
-45-
２次元透水問題(2)
(1),(2) 式より
 u
 av1  0

 x1
 u
 av2   w  0

x

 2





 v1   1 u   w     u  C1    w     u  x2  C 

 a x  
a x1 a x1   w

1  w




 w   u
 1  u












v
x
C
2
2
w
 x
 a x  

a
Darcy 則
2  w
 2



vi 
  h 
w   u
  x2  C   k   t 

a xi   w
  xi 
k
hp
he
ii
ht  h p  he
２次元透水問題(3)
or
 h
v  k  t
 x

  ki

 ht 


x1 
ht

 grad (ht )    ht  
h 
xi
 t 
 x2 
-46BCからの流出量：


v
v dx2 
v
v dx 
 v 
  e1  dx2   v1  1 dx1  1 2   dx2
dx1 
x1
x2 2 
x1
x2 2 


v  v( x1 , x2 )
ADからの流出量：


v dx2 
v dx 
 v 
  ( e1 )  dx2   v1  1 2   dx2
x2 2 
x2 2 


e2
D
x2 (e2)-e1
DCからの流出量：
C
dx2
ABからの流出量：
B
A
( x1 , x2 )
e1
dx1
-e2
x1 (e1)




v dx1 v
v dx v
 v 

dx2   e 2  dx1   v2  2 1  2 dx2   dx1
x1 2 x2
x1 2 x2






v dx1 
v dx 
 v 
  ( e 2 )  dx1   v2  2 1   dx1
x1 2 
x1 2 


境界からの流出量の総和が要素からの湧出量にな
るので、単位時間に単位体積から湧出する量を  と
すると、
 v1 v2 

dx1dx2   dx1dx2

 x1 x2 
-47-
２次元透水問題(4)
水を非圧縮と考え、蒸発や湧きだしがないとす
れば =0 より
v1 v2

0
x1 x2
or
連続式
連続式
dv
 0  v  const.
dz
1次元では：
T v  0,
vi
0
xi
v  k ( ht ) より
 v1 
v  vi  v1e1  v2e2   
 v2 
  
 
x


  e1  e2   1 
  
x1
x2
 
 x2 
vi
v v
 divv  T v  1  2
xi
x1 x2
Darcy則
T k  ht   0

or
2
1次元では：
T ht  ht  0
 2ht  2ht

0
2
2
x1 x2
Laplaceの式
d ht
 0  ht  az  b
dz 2
-48-
２次元透水問題(5)
rot v    v     kht   k  ht
 
  h
h 

 k 
e1 
e 2    t e1  t e 2 
x2 
x2   x1
 x1
 
 
rot v   e1 
e2   v1e1  v2e2 
x
x


2
 1

 v v 
  2  1 e3 (2 D)
 x1 x2 
 e1  e2  e3 , e2  e1  e3 , 


e2  e  e  e  e  0
 1 1 2 2

  2 ht
 2 ht 
  e 3  0  e 3
 k 





x
x
x
x
2
1
 1 2
したがってDarcy則にしたがう流れは渦のない
流れ
e3
e1
-49-
２次元透水問題(6)
 ht ( x1 , x2 )  c

 h ( x  dx , x  dx )  h ( x , x )  ht dx  ht dx  c
1
2
2
t
1
2
1
2
 t 1
x1
x2

 dx1 


 dx2 
( x1  dx1 , x2  dx2 )
ht
h
dx1  t dx2  0
x1
x2
 ht 


 x1 
 ht 


 x2 
( x1 , x2 )
x2 (e2)
ht  c
 ht ht   dx1 
  

  0
,
 x1 x2   dx2 

x1 (e1)
v
k
Darcy則にしたがう流れ（流線）は等ポテン
シャル線に直交する方向
-50-
２次元透水問題(7)
d
d
h 1
正方形flow net の性質
Q  Q"
Q
d”
d”
d’
d’

h 2
h1
d  kh1
d
h
Q"  v" d "  k 2 d "  kh2
d"
Q  vd  k
Q”
h1  h2
Q’
Q '  k
h1
d '  kh1
d'
Q
x2 (e2)
したがって、全体での流量は
x1 (e1)
Q  N f  Q  N f  k
ht ( 2 )  ht (1)
Nd  d
d  k ht ( 2 )  ht (1) 
Nf
Nd
-51-
２次元透水問題(8)
つり合い式（土粒子部分＋間隙水）
 ij
xi
 Fj  0
ijは圧縮を正とすると

 ij
xi
 Fj  0
 ij

xi
有効応力式
x2 (e2)
 ij   'ij u ij
 Fj  0
(1)
( 2)
間隙水圧
u   w ht   w ( x2  c)
x1
(e1)
動水勾配
ii  
ht
xi
( 3)
( 4)
(1), (2)式より
 'ij
xi

u
 ij  F j  0
xi
-52-
２次元透水問題(9)
(3)式を代入してかきくだすと
h
  '11  '21

  w t  F1  0

x2
x1
 x1

0

ht
  '12  '22


  w  F2  0

w
 x
x2
x2
 1
-sat
(4)式を用いてまとめると
 'ij
xi
 F* j  w ij
0








w
 sat
 ht 


 x1 
 h 
  t 
 x2 
-53-
2次元透水問題(10)
 h 
vi  k   t   kii
 xi 
dx1

 h
vi  kij   t
 x
j

等方性

  kij i j


異方性
 v1   k11 k12  i1 
 
   
 v2   k 21 k 22  i2 
dx2
x2 (e2)
異方性の軸の方向を(x1, x2)方向にとり、
k11=k1, k22=k2とすれば
x1 (e1)



 v1  k1   ht 
 x 

1 


 v  k   ht 
2

 2
 x2 

dx1 '
dx2
x2 (e2)
x1’(e1)
ここで x1 ' 
k2
x1 のように x1 軸を変換すれば
k1
-54-
2次元透水問題(11)
 h 
 h x ' 
 h 
k  h 
v1  k1   t   k1   t 1   k1 2   t   k1k 2   t 
k1  x1 ' 
 x1 
 x1 ' x1 
 x1 ' 
連続式より
 v1 v2 
 v x ' v 

dx1dx2   1 1  2 dx1dx2

 x1 x2 
 x1 ' x1 x2 
k2
k1
  2 ht  2 ht 
  2 ht  2 ht 

dx1dx2   k1k 2 
  k 2 

2 
2
 x '2  x 2 dx1 ' dx2  0
'

x

x
2 
2 
 1
 1
異方性透水問題では、( x1 ' 
k2
x1 , x2 )の座標に変換すれば、
k1
k  k1k 2 の等方性透水問題として考えられる。
-55-
弾性体-1次元(1)
W

l
l
l
2
A
W  k 
  0
 0 / 2
  E
2A
 0 / 2

W
E
A
l
A 
W   E 
l 
-56-
弾性体-1次元(2)
x
k
S
k1
1

u
u 
W S
S  k 
k2
 S1  k1   1

 S2  k2   2
S1
W
S1  S 2  W
S2
2
u   1   2
-57-
弾性体-1次元(3)
k1
k2
k3
S1  k1   1
u1
W1
S2  k2   2
u2
W2
S 3  k3   3
u3
k n 1
kn
W3
un2
バネの特性式：
Si  k i   i
(i  1, , n )
 S1   k1 0 0    1 
  
  



0
0
  
  
 S   0 0 k   
n  n
 n 
S 
k
 δ
Wn  2
S n 1  k n 1   n 1
un 1
Wn 1
S n  kn   n
-58-
弾性体-1次元(4)
つり合い式：
 S1  S 2  W1
 S  S  W
2
3
2



 S n 1  S n  Wn 1
1

0





1 0
1 1 0



0
1
0
A
  S1 
  W1 
 

  S2  
W
 2 

     

 
 


 1 0   S n 1  
Wn 1 




1  1  S n 
 S  W
-59-
弾性体-1次元(5)
変位の適合条件式：
u1   1

 u
 u2   2
 1


 un 2  un 1   n 1

 n
 un 1
1 0

 1 1
 0 1

0











B


 1 

  u1  




2 
 u
0

2  

  





1 0




n 1 
 1 1   un 1  

 n 


0  1

u  δ
A  BT
-60-
弾性体-1次元(6)
A  S  BT  S  W 

B u  δ


S  k δ

B kB u  W
T
K
u  K 1  W
W, u   BT S,
外部仕事

u  S, Bu   S, δ 
内部仕事
cf

( x, Ay )  x T ( Ay )  ( x T A ) y  ( A T x )T y  ( A T x, y )


弾性体-2次元(1)
-61-
I
1

 I   I
E


 


 II    I
 E

I
 II
 II
)
I
 II

 
  I     II
 E


1
  II   II
E


1
 
  I   I     II
E
 E



1
  II     I   II
E
 E

 II
I
弾性体-2次元(2)
-62-


2
12 
 12
 12
2
v
0
 II
 22
s
t
2
 11
I

 II
 22 0 2 2
d
2
2(1   )  I   II 1


 s
  v   I   II 
2
E
K


2(1   )  I   II 1







 t
 d
I
II
2
E
G

11
I


弾性体-2次元(3)

s12
sII
s22 0
 12
 '12 
2
s11
sI
s
t
2
2
 '22
 ' II
-63-
0 2
d
 '11
I
'
2
テンソル表示


 sij   ij  kk  ij   ij  s ij
  kk  2 K   kk
2


 s  2G   '

 kk
v
ij
 ij





'




 ij
ij
ij
ij
ij
2
2

1
1 
1

 ij   kk  ij 
  ij   kk  ij 
2
2G 
2

 ij 
 or
s  K v 
1
1 
1

 1
 ij  

 ij   kk  ij
 kk  ij 
E
E
2G
 4G 4 K 
弾性体-3次元(1)
3D弾性式:

1
 
 
  I   I     II     III
E
 E
 E


1


  II     I   II     III
E

 E
 E

  III      I      II  1  III

E
 E
 E

3(1  2 )  I   II   III


  v   I   II   III 
3
E


1

p

K

     2(1   )   I   II  1   I   II
II
 I
E
G
2
2

     1   II   III ,     1   III   I
II
III
III
I
G
G
2
2

-64-
-65-
弾性体-3次元(2)
3D弾性式（テンソル表示）:


 sij   ij  kk  ij   ij  p ij
3


 kk

 ij   ij  v  ij
  'ij   ij 
3
3


  kk  3K   kk

 s  2G   '
ij
 ij
 ij 

 or

p
 kk

 K   kk  K   v 
3

1
1 
1

 1
 ij  

 ij   kk  ij
 kk  ij 
E
E
2G
 6G 9 K 


2
3


 ij   K  G  kk  ij  2G ij
-66-
地盤の 1 次元変形(1)-材料特性
 '0
 '0
 '   ' 0   '
e0

e
e
1
1

地盤の材料特性
e
e0
e
A
C
e0
virginal
loading
 '0
1

C
B
unloading &
reloading
A
D
'

1
 e e0  e

1  e0 1  e0
virginal
loading
B
unloading &
reloading
 '0
D
ln  '
-67-
地盤の 1 次元変形(2)-材料特性
e  ln  ' の直線関係より(under virginal loading ) :
(a)


'
 e

ln
1  e0 1  e0  '0
(  0.434Cc )
増分形になおすと
d 

1

1  e0  '
(b)

virginal
loading
d '
1
1
 mv で１次元のもしくは多次元のに相当
E
K
また、E もしくは K は ' により変化（非線形）
virginal loading (   c & d  0) :
d  d e  d p
c
unloading & reloading (   c or d  0) :
（弾塑性）
d  d e
unloading &
reloading
ここに、土（１次元）では
1
  1

d e 
d p 
 d '
 d ' ,
1  e0  '
1  e0  '

-68-
地盤の 1 次元変形(3)-境界値問題
応力、ひずみは圧縮を正とする
qe
z=0
e
応力・ひずみ式とひずみ～変位関係より：
z(e)
z=z
 du 

 dz 
  E  E  
e
ue
z=z+dz
z=H
つり合い式：
d
 e  ( 
dz )(e)   e  dz  0
dz
d
  0
(1)
dz
u 


u

dz e

( 
dz )(e) 

z

z
(1), (2)式より：

d 2u
d 2u

(3)
E 2   0 
2
dz
dz
E
(3)式を解いて：
u
1
(2)
 1

2
 z  az  b 
E2

a, b : 積分定数
(4)
-69-
地盤の 1 次元変形(4)-境界値問題
例題(1)
z  0 :   q

z  H: u  0
( Neumann 境界）
( Dirichlet 境界)
z  0 :   qより
q  a  a 
z  H : u  0より
0
q

 1
1 2 q

2
 H  aH  b   b   H  H
E2
2


 1 2 q 
q
2
 z  z   H  H 
E 2

 
2
du  
q 
q
     z    z 
 E
E
dz E 
u
 1
  E  z  q
-70-
地盤の 1 次元変形(5)-境界値問題
例題(2)
z  0 : u  0

z  H: u  0
z  0 : u  0より
z0
z

z  H : u  0より
 1
H 
2
 z  z
2 
E2
du  
H
    z 
2
dz E 
u
zH
b0
1 2
H  aH  0
2


  E    z 
H

2
1
 a H
2
-71-
地盤の 1 次元変形(6)-有限要素解析
qi
1
2
i
j
z0
①
z
z
②
i
LK
j
z  z(i )
K
z  z(i )
i
z  z( j )
qj
z  z( j )
・・・・・
m N
j
(uv)'  u ' v  uv' 
 uv' uv   u ' v
u を仮想変位として, つり合い式より：
z( j )
z( j ) du
z( j )  d

z( j )






u

dz
u


dz


z( i )
 z(i ) dz
 z(i ) dz
 z(i ) u dz


0
zH
1

地盤の 1 次元変形(7)-有限要素解析
z( j )
( j)
( j)
 z(i )  dz  u  z(i )   z(i ) u dz
z
z


q  z
z
  u( j ) ( j )  u( i ) ( i )   z ( j ) u dz   i  j  i    z ( j ) u dz
(i )
(i )
qj 
 qj
qi


q
δT
 u  az  b

 j  i
  i  az( i )  b ,  j  az( j )  b  a 
LK


z

z
z  z( i )    i 




j
i
(i )
T
T
u

z

z





(
)
1

  j   N  δ  δ  N
i
(i )

LK
LK
LK   


    du    j   i   1 1    i   B  δ  δT  BT

  

dz
LK
 LK LK   j 

( j)
( j)
( j)
T
T
 z(i )  dz   z(i )  Edz  δ   z(i ) B EΒ dz  δ
z
z
z
z
 δ T  q  δ T   z ( j ) NT dz
(i )
-72-
-73-
地盤の 1 次元変形(8)-有限要素解析
 z  z( i )

 L


 1
 1

T
 qi 
 qi  z( j )
 qi 
LK
LK
z( j )
z( j ) 
LK 

dL
T
 z(i ) B EB dz  δ   q j    z(i ) N dz   q j     z(i )  z  z
dz   q j    0  L

(i )
 
 
 




 L


LK
BT EB LK  δ
 K



LK
 K δ
 L2

z  z( i )  L
LK 
 LK  

 L


q




i
q 
2 LK
2   qt
   qi     2   
  i    
2


q
q
L






L
 j
 j   K   q  LK 
j


2 
 2  
 2 LK
0






K  δ  qt


 ここに：

 1 




L
 1
 K  ( BT EB) LK   K  E 


 1  LK




LK 



 qt i 
 i 
q t   t 
 δ    ,
 j 
q j 

 1  1 E
1
 LK  

LK 
  1 1 LK
地盤の 1 次元変形(9)-有限要素解析
1
1
2
i
j
m
 

 












i
j
m



E
LK 1

E
LK
E
E
LK 1  LK
E
LK
E
E
LK  LK 1
E
LK 1




K̂
ˆ 1  qˆ t
δˆ  K
  Bδ
t
  1  q 1 
    
    
    
    
  i  q t i 
    t 
   j   q j 
    
    
    
    
     
t
   m  q m 
t
δ̂ q̂
  E
 なお、  l   l * で既知変位とするとその行（l行）は 




1


*
とすればよい


l
l


-74-
-75-
１次元圧密(1)
q
z0
z

 ht 

vi  k  
x

i 


p
p
u
u
 ht  h p  he  w  x2  c  w  s  e
 h 
 v  k  t 
 z 
ue  0
w
zz
H
1
z  z  dz
v
z
(3)

   0
z
( 4)
 
ue
0
z
zH
(1)

x2
  '  E  
x1
   
z  0を水頭の基準面とすると、
z  ( x2  c )
したがって、
us   w z   w ( x2  c)
u
z
(5)
( 6)
    ' p w
(7)
   
(8)
  const. では ( 4)式より、   q
(3)式より、
  ht   k   2ue 
v



 k 

z  z   w  z 2 
z
(1)
( 2)
(5)式より、
 '  p
q u
    w   e
E E E E E
(7)
したがって (8)式より、
Ek  2ue
 q

 w z 2
瞬間載荷では q  const. ( q  0) より、
Ek  2ue

ue 
 w z 2
k
mv w
w
w
( 2)

vi 
  x 
i


  ij 
F
0


j

 x

 i
 ij  Dijklkl 

1  ui u j 


 ij   

x
x
2


i 

 j

ij   'ij  p w ij 
  v  ii 
-76-
１次元圧密(2)
ue 
w
 cv
（Terzaghiの圧密方程式）
-77-
１次元圧密(3)
  const.では ( 4)式より、　  z  q
(3)式より、

v  
h    k ue 

   k t    
z z 
z  z   w z 
(1)
( 2)

  k   pw  us  


z   w
z


  k   pw   w z  


z   w
z


  k    '

  

  w  
z   w  z
z

 (7)式

  k 


     E
  w  
z   w 
z

 (5)式

Ek  2

 w z 2
したがって　(8)式より、
  cv
 2
z 2
（三笠の圧密方程式）
-78-
１次元圧密(4)
q
z0
H
ue  0
q
ue  0
 0
z

cv  cv
1
ue
0
z
zH
cv  1
ue
0

 1
ue  2ue

Tv  2
ue
 2ue
 cv 2
t
z
z
ct
, Tv  v 2 とおけば
H
H
ue ue Tv
c u

 v2 e
t Tv t
H Tv

cv
 2ue
  ue  
  1 ue  cv  2ue


c
c




v
v
z 2
z   z 
z  H   H 2  2
-79-
１次元圧密(5)
0
ue ue

ue 0 q
0
1

1
Tv  0
U
Tv  Tv
1  0
ue
d
ue 0

1
cf. 教科書p.36 図2-10 &表2-3
1
cf. 教科書p.35 図2-9
Sf 

1  e0
H ln
z
ct

   , Tv  v 2 
H
H 

'
'
C
 c H log10
 0 ' 1  e0
0'
 '   '0  q 
S U Sf
-80-
１次元圧密(6)-有限要素解析
q
1
2
i
j
増分形で仮想仕事式を考える
z0
①
②
K-1
K
z
左辺  δT  z ( j ) BT  'ue dz
z
(i )
 δ T  z
(i )
z  z(i )
z  z( j )
・・・・・
1
z
z( j )
K+1
m N
z
( j)
( j)
T
T
T
T
t
z(i )   dz  δ  q  δ  z(i ) N dz  δ  q
B EBdz  δ  δ
T
T
z
( j) T
z(i ) B uedz
したがって、
BT EB LK  δ  BT LK  ue  qt
K
C
一方、要素の体積変化の増分は、


z
z
(i )
(i )
( a)
(dV )   z ( j )  dz   z ( j ) Bdz  δ  BLK  δ
CT
zH
(a), (b)式をまとめて、

K C δ  qt
CT 0 u   (dV )

 e  

K#
δ#
q#
(c)
(b)
-81-
１次元圧密(7)-有限要素解析
時間間隔tにおける要素Kの体積変化の増分は
Darcy則より、
K 1
i
ue ( K 1) L
K 1




u
u
u
u


k K e ( K ) e ( K 1)
e( K )
e ( K 1)
  t

 ( dV ) 

LK LK 1 * 
 w  LK  LK 1 *



2
2
2 
 2

ue ( K )
K
LK

2k K 
1
1

t  ue ( K )

 w  LK  LK 1 * LK  LK 1 * 
2k K 

 w  LK
2k 
 K 
 w  LK

j
K 1
ue ( K 1) LK 1
1

1
t  ue ( K 1)
 LK 1 * 

1
t  ue ( K 1)
 LK 1 * 

ここに、


kK
kK

LK 1* 
LK 1 , LK 1* 
LK 1 

k K 1
k K 1


また、瞬間載荷時や非排水条件では
( dV )  0













 (d )













-82-
１次元圧密(8)-有限要素解析
( d )式における水理境界条件の与え方：
 要素Kと要素( K  1)の境界が ue  0 の排水境界とするとき、



LK 1 *  0 & ue ( K 1)  0




要素
と要素
の境界が
の非排水境界とすると
き、




K
(
K
1
)
u
/
z
0
e




LK 1 *  0 & ue ( K 1)  ue ( K )


( c )式の K #を書き下すと、
K
K#   T
C
 E
L
 K
C   E

0   LK

 1

E
LK
E
LK

i列

j列
1

1 

1 


0 


K列
 i行
 j行
K 行
(f)
( e)
-83-
１次元圧密(9)-有限要素解析
ˆ #を作る
各要素のK #をたし合わせることにより全体の剛性マトリックスK
ˆ #を設定する。
また、境界条件に合わせてΔqˆ #をつくるとともにK













   1   q t 1





 

 
 

 
 

 

 


   m   q t m 

 
 



u

( dV1 ) 
e (1)







 
 



 ue ( N )  ( dVN ) 
Δδˆ #
Δqˆ #
ˆ#
K
ˆ#
K
(g)
なお、既知変位増分(  l   l *)が与えられる節点lでは、( g )式のその行（l行）を
1   l   l *
(h)
とすればよい.
-84-
１次元圧密(10)-有限要素解析
要素分割、初期条件、境界条件等
の解析条件およびtの入力・設定
K̂ #   K #をつくる
境界条件（変位、荷重、水理）から
ˆ #を設定
Δqˆ #をつくるとともに、K
ˆ # 1  Δqˆ #の計算
Δδˆ #  K
各要素の ,  ' を計算
t  t時の各節点、各要素の
δ |t  t  δ |t  Δδ, ue |t  t  ue |t  Δ ue
ε |t  t  ε |t  Δ ε,
 ' |t  t   ' |t  Δ  '
を求める
終了
E : 非線形
E : 線形
t間隔で増分計算
-85-
１次元圧密(11)-圧密挙動
t
ln  '
py
構造を持った自
然堆積粘土
e
s
過圧密粘土
理論
実際
ln t
練返し正規
圧密粘土
s
理論
実際
１次元圧密(12)-圧密挙動
-86-
まとめ
•現状は最終沈下量はe～ln pの直線関係とpyを使って、沈下速度はcvを一
定とするTerzaghiの圧密式で決めている。
•この場合の問題点と限界は・・・・・・・。
漸増載荷
応力・ひずみ関係の非線形性
多層地盤
その他
•有限要素解析（土・水連成解析）を行えば、上述の問題点を解消するとも
に、沈下量と速度は同一の考え方から決められる。
•今後の課題は、理想粘土（練返し粘土）と構造を持った自然体積粘土の
応力・ひずみ挙動の差と多次元の圧密問題－地盤工学で解説。
•いずれにせよ圧密問題も、つり合い式、ひずみの適合条件（連続式）、応
力・ひずみ式を考え境界値問題として解くことは他の問題と同じ。
-87-
地盤解析学・地盤工学
1.
2.
3.
4.
5.
6.
多次元での地盤材料（粘土、砂）の変形・強度特性
弾性論と弾塑性論
弾塑性論の地盤工学への適用
多次元での地盤の変形解析
地盤の変形と破壊
地盤工学の・・・・・
教科書：「地盤力学」柴田徹編著、山海堂
参考書：「土質力学」山口栢樹著、技報堂出版
「地盤の支持力」柴田徹,関口秀雄著、鹿島出版会
応力およびひずみパラメータ(1)
２次元
I
P ( I ,  II ) S .D.
( I   II )
N
 II
O
I

s 


t 


1
1
ON  ( I   II )
2
2
1
1
NP  (  I   II )
2
2
P' ( I ,  II )
( I   II )
  v  2 O' N'   I   II


  d  2 N' P'   I   II
N'
O'
I
 II
-88-
II
応力およびひずみパラメータ(2)
I
３次元
I
P ( I ,  II ,  III )

p
S .D.

( I   II   III ) 


q 

 III

N
O
-89-
1
1
III
III
ON  ( I   II   III )
3
3
comp
1
 ( I  2 III )      (comp)
3
3
1
NP 
( I   II ) 2  ( II   III ) 2  ( III   I ) 2
2
2
  I   III
     (comp)
 II
I
P' ( I ,  II ,  III )
( I   II   III )   v 
N'
 III
O'
3 O' N'   I   II   III
  I  2 III      (comp)

2
2
 
N' P' 
( I   II )2  ( II   III ) 2  ( III   I )2
d

3
3

2
 (  I   III )      (comp)

3

 II
弾性体(1)-２次元
-90-


2
12 
 12
 12
2
v
0
 II
 22
s
2
 11
t

1
 
  I   I     II
E
 E



1
  II     I   II
E
 E

I

 II
 22 0 2 2
11
I

d
2
2(1   )  I   II 1


 s
  v   I   II 
E
K
2


2(1   )  I   II 1







 t
 d
I
II
2
E
G

-91-
弾性体(2)-３次元

1
 
 
  I   I     II     III
E
 E
 E




1
  II     I   II     III
E

 E
 E

  III      I      II  1  III

E
 E
 E

3(1  2 )  I   II   III


  v   I   II   III 
E
3

1

 p
K




  II 1  I   II
2
(
1
)
   
 I
 
I
II

E
G
2
2
1  III   I
1  II   III

,  III   I  
  II   III  G 
G
2
2

2
 d 
( I   II ) 2  ( II   III ) 2  ( III   I )2
3

  2 1 (   )2  (   ) 2  (   ) 2  1 1  q

I
II
II
III
III
I
3G
3 2G

Ⅰ
-4
0
0
5
10
0
15
Ⅲ
Ⅲ
q
5
0
0
1
-4
0
0
0
-1
5
10
15
dense(e196 =0.66)
loose(e196 =0.83)
d(%)
10
0
15
d(%)
q/p
v(%
q/p
-8
5
-5
d(%)
2
-4
dense(e196=0.66)
loose(e196=0.83)
dense(e196=0.66)
loose(e196=0.83)
-2
-8
v(%
2
.
-8
10
f.l
4
v(%)
 Ⅲ  2.0kgf / cm 2
v(%)
Ⅰ-Ⅲ
p  2.0kgf / cm 2
-92-
Ⅰ-Ⅲ
地盤材料の変形・強度特性(1)-砂
p
e
NC
CS
L
L
2
-8
1
-4
0
0
-1
lnp
5
10
0
15
dense(e196 =0.66)
loose(e196 =0.83)
d(%)
-93-
地盤材料の変形・強度特性(2)-正規圧密粘土(OCR=1.0)
10
Fig: Effect of confining pressure (OCR=1.0)
-10
2
Fig: Effect of confining pressure (OCR=1.0)
-10
5
-5
1
-5
0
0
0
0
5
15
d (%)
-1
-5
0
5
10
p=2.0 Kgf/cm2
0
5
10
2
5
15
(%)
d
p=2.0 Kgf/cm
p=4.0 Kgf/cm2
p=4.0 Kgf/cm2
p=6.0 Kgf/cm2
p=6.0 Kgf/cm2
e
CS
L
q
NC
CS
p
L
L
lnp
-94-
地盤材料の変形・強度特性(3)-OCR=2.0
OCR=2.0
OCR=2.0
6
-10
2
-10
3
-5
1
-5
0
0
0
0
5
15
(%)
-1
-3
0
5
10

d
0
5
10
d
p=1 pmax=2
p=1 p
=2
p=2 p
=4
p=2 pmax=4
p=4 p
=8
p=4 pmax=8
max
max
max
e
q
NC
CS
p
L
L
lnp
5
15
(%)
-95-
地盤材料の変形・強度特性(4)-OCR=4.0
4
Fig: Effect of confining pressure (OCR=4.0)
Fig: Effect of confining pressure (OCR=4.0)
-10
2
-10
2
-5
1
-5
0
0
0
0
5
15
(%)
-1
-2
0
5
10

d
0
5
10
p=1 p
=4
p=1 pmax=4
p=2 p
=8
p=2 pmax=8
max
max
d
5
15
(%)
e
CS
L
q
CS
p
NC
L
L
lnp
地盤材料の変形・強度特性(5)-OCR=1.0, 2.0 &4.0 ; p’=2.0kg/cm2 -962)
Fig: Effect of Overconsolidation (p=2.0 kgf/cm2)
4
-10
Fig: Effect of Overconsolidation (p=2.0 kgf/cm
2
-10
2
-5
1
-5
0
0
0
0
5
15
(%)
-1
0
5
10
5
5
15
d (%)
10
OCR=1
OCR=2
OCR=4
e
L
q

d
OCR=1
OCR=2
OCR=4
0
CS
-2
NC
p
CS
L
L
lnp
地盤材料の変形・強度特性(6)-OCR=2.0, 4.0 & 8.0 ; py=8.0kgf/cm2 -972
Fig: Preconsolidation pressure = 8.0 Kgf/cm
Fig: Preconsolidation pressure = 8.0 Kgf/cm2
-10
2
3
-5
1
-5
0
0
0
0
5
15
(%)
-1
-3
0
5
q
10
p=4 OCR=2
p=2 OCR=4
p=1 OCR=8

d
0
5
10
d
p=4 OCR=2
p=2 OCR=4
p=1 OCR=8
-10
5
15
(%)
e
CS
L
6
NC
CS
p
L
L
lnp
-98-
地盤材料の変形・強度特性(7)-正規圧密粘土
normally consolidated clay :
e 
 e  e0  e
  ln
v 
s'
s '0
t
(for incresing s ' under constant   )
s'
 e
1  e0
D
ln s'
t
s'
(for increasing  

t
s'
t
under constant s ' )
s'
e 
M
0
d
t

  
s' 

v
-99-
地盤材料の変形・強度特性(8)-正規圧密粘土
v 
or

 e
s'

 D
ln
1  e0 1  e0 s'0
(  t / s' )
 e  e0  e   ln
 I 
s'
 (1  e0 ) D
s '0
t 
 II 
s'
where
eSr  Gs w
specific volume v  1  e
-100-
地盤材料の変形・強度特性(9)-正規圧密粘土
t
t 
CSL(  M )
e  const.
0
NCL
s'
s'
e 
  const.
s'
NCL
CSL
t

CSL
:
critical
state
line
(

 M)


s'
 NCL : normal consolidation line (  0)
v 
  const.
e
 e
1  e0
NCL
DM
D : Shibata' s dilatancy coefficient
(1963)
e
CSL
under constant s'
D
M

t
s'
(1  e0 ) D  M

1
ln s'
-101-
地盤材料の変形・強度特性(10)-正規圧密土
q
   III
3RCS  1 6 sin CS
M     I
: comp


RCS  2
3  sin CS
 p' CS  I  2 III
3
 I   II
R 1
t
2
  
 CS
 sin CS : 2 D
 s' CS  I   II RCS  1
2

 


 where RCS    I  (for 3D)
  I  (for 2D)
 

  II CS
 III CS

CS   '




for normally consolidated soil

0
'
 II
t
s'
I


s'
s
sin  '  tan   M
地盤材料の変形・強度特性(11)-正規圧密土
stress paths and variation of e under constant p' test and constant  III test
-102-
地盤材料の変形・強度特性(12)-正規および過圧密土
-103-
stress - strain behavior of NC soil and OC soil under different confining stresses
d 0  (    ) ln
p' y
p'
 (   )  ln(OCR )
地盤材料の変形・強度特性(13)-正規および過圧密土
stess - strain behavior of soils with different initial void ratio
-104-
-105-
地盤材料の変形・強度特性(14)-正規および過圧密土
undrained stress paths of soils with different initial void ratio and with different initial confining pressure
-106-
多次元での有効応力
: 1D
 '    u
  'ij   ij  u ij : 2 D & 3D
 ' I   I  u
 '    u
  ' II   II  u
III
 III
matrix expression in 2D :
 '11  '12   11  12  u 0

 '


 21  '22   21  22  0 u 
2D :
1
1

 s'  ( ' I  ' II )  ( I   II )  u  s  u
2
2

1
1
 t '  (  ' I  ' II )  (  I   II )  t
2
2

3D :
 p'  p  u
 q'  q


0
mo
 ' II
t
 II
s'  ' I
t
s
I 
s
s
u
u

s'
sin mo 
t
 tan    (at 2D)
s'
-107-
弾塑性論(1)-１次元

 elastic(linear) :
1
1
   or d  d
E
E


c


c


rigid-plastic:
 d  0

d
 d   d  p  p 
h

( f     c  0 or df  0)
( f   c  0
elasto(linear)-perfectly plastic:
1

e
 d   d   E d

 d   d  e  d  p  1 d  d 
E
hp

( f     c  0 & df  0)
( f    y  0
or df  0)
( f     y  0 & df  0)
H
d p
 p
hp 
H
 p
-108-
弾塑性論(2)-１次元

O
( f     c  0 or df  0)
 elasto-strain hardening (softening) plastic:
1

e
 d   d   E d

 d   d  e  d  p  1 d  d y  1 d  d

E
hp
E
hp

where  y  H ( p )  d  y 



y
y
& df  0)
弾塑性論では
d  d e  d p
A
d
はいつも発生するが、
E
p
塑性ひずみ増分 d は発生する時としない時がある。
つまり、 d p   とすれば、
0
 or
 
d
 p
h
これを判定するのが負荷基準 ( yield condition)
弾性ひずみ増分 d e 
B

A点のようにひずみ硬化時 (strain hardening)は
 d p    0
(if f     y  0 or df  0)

 d  p    d 
(if f     y  0 & df  0)
hp

と判断できるが、Ｂ点のようにひずみ軟化時 (strain softening)では弾性域でも弾塑性域でも d   0となるので
ひずみ硬化時の基準では判断できない。
そこで、ひずみ軟化時にも適用可能な負荷基準として次の基準を設ける。
 d p    0
(if f     y  0 or   0)

d

 d  p   
(if f     y  0 &   0)
hp

つまりひずみ硬化時 (h p  0)は d   0なので   0
ひずみ軟化時 (h p  0)は d   0なので   0
-109-
弾塑性論(3)-１次元
弾塑性式の陽な表示
d  E d  e  E ( d   d  p )
 E (d   )
(1)
f    H ( p )  0
(2)
(2)式より
H
df  d  p d  p  0
(3)

E ( d   )  h p 
( E  h p )  E d

E d
E  hp
(4)
hp
(1), (4)式より
E
d )
E  hp
E
 E (1 
)d
E  hp
hp
E
d
E  hp
d  E (d 
-110-
弾塑性論(4)-１次元



＝
1
e
粘土の1次元圧密
＝

ln 
1
1
0
p
ln 

1  e0
＋
E

ln 
1
hp
0
＋

1  e0
e
1
0
 
1  e0
e
e0

0
ln 
 e e0  e

1  e0 1  e0
p
-111-
弾塑性論(5)-２次元
3D (2D)
1D
d ij  d ije  d ijp
f  F ( ij )  H  0
H  H ( )
p
ij
f
d  ijp  
 ij
f 0
弾塑性論(6)-２次元
f    y  0
 y  H ( p )
 F ( s, t )  H  0 
 ij
d ijp
d  d e  d p
f
F

 ij
 ij
d p  
F 
 p



d
v

s 


 d  dp   F 
t 

3D (2D)
f    y  0
f  F ( ij )  H  0
f  df  F ( ij  d ij ) 
-112-
1D
 H  dH 
F
 F ( ij ) 
d ij   H  dH 
 ij


F
H
d ij   H  p d  ijp   0


 ij
 ij


F
H
p
 df 
d ij  p d  ij  0
 ij
 ij
 F ( ij ) 

H ( p )
df  d 
H
d p  0
 p

F
 ij
F
F
d ij
d ij
 ij
 ij
dF


 p
H F
hp
h
 klp  kl

d
d
 p
H
h
 p


F
F
F
F
ds 
dt
ds 
dt


dF


s
t


s
t
 

 p 
p
H F H F
h
h 




 vp s  dp t


d ije 
1 

d ij  d kk ij
E
E
 e 2(1   ) 
ds 
 d v 
E

2(1   ) 
 d de 
dt 
E


d e 
1
d
E
-113-
弾塑性論(7)-２次元
弾塑性式の陽な表示
dσ  De dε e  De (dε  dε p )
where,
F
dσ
  σ p
h
F
dε  
,
σ
F
F e
F e
f
hp 
dσ 
D ( d ε  dε p ) 
D ( dε   )
σ
σ
σ
σ
F e
 F

D dε
 σ dσ 
σ



F e F 
hp 
hp 
D


σ
σ 

F e


D


F
e
σ

dσ  D  I 
 dε
σ h p  F De F 


σ
σ 

loading condition:
p
 dε p  0

 dε p   F

σ

(f 0
(f 0
  0)
or
and
  11 
σ   ij or   22  or  s' 
 
t 
 12 
 11 

ε   ij or   22  or  v 
d 
 

 12 
 1 0 0


 1 0
I   ij or  0 1 0  or 

 0 1
0 0 1


0
1 


E 
e
e
 1
D  Dijkl or
0

2 
1  

 0 0 (1   ) 2 
K 0 
or 

 0 G
  0)
-114-
弾塑性論の土への適用(1)-２次元
正規圧密粘土
v 

1  e0
ln
s'
t
D
s0 '
s'
( e  e0
at
s '  s0 ' & t  0)

s'
 e
  v  1  e ln s '
0
0

 p  
s'
t
ln
D
  v 
1
e
s
'
s
'

0
0

elastic components:
d  ve 
1
2(1   )
 1
ds ' 
ds ' 
ds '
1  e0 s '
K
E
d  de 
1
2(1   )
 1 1 
dt 
dt 
dt
1  e0 s ' 1  
G
E
E  2(1   ) K 
2(1   )(1  e0 ) s '

pla stic components:
0.3
yield function
f  F ( s ', t )  H 
t
 
1  e0
ln
s'
t
 D   vp  0
s0 '
s'
CSL
0.2
D  0.2
e0  2.0
s0 '  1.0
 vp 0  0
f 0
0.1
0
0
  0.4
  0.1
0.5
s'
1
-115-
弾塑性論の土への適用(2)-２次元
正規圧密粘土
 F    1

t
1   

D 2  
 D 

s'
s '  1  e0
 s ' 1  e0 s '

 F
1
D

s'
 t
 H
H
0
  p  1 ,
 dp

 v
t 

   s'


F
F
F
F
F
F
ds '
dt
ds '
dt
ds '
dt
dF
s
'
t
s
'
t
s
'





t



 p
p
H F H F
F
h
h

 vp s '  dp t
s '
hp 
t , d dp
CSL

t
1   
F    1
    

D 2  
 D  
1  
s'
s '  1  e0
s ' 1  e0 s '
 (1  e0 ) s '   
where, D 
 
1
  e0  
d
p
v
, d dp

f  FH 0
M
s ' , d vp
 p

1   
1
F F
F
ds '
dt  

 D  ds ' D dt
 d v  
s '  1  e0
s'
s ' s '
t



F
F

ds '
dt
1
1
D
F
t
 d  p   F  s '
 d  vp
 d  vp
 d  vp
d

 
 
f
t
t


 D


1  e0
s '
1  e0  D

-116-
弾塑性論の土への適用(3)-２次元
正規圧密粘土
d  vp
  
d  dp

F    1
t
1   
    

D 2  
 D  
1  
s ' 1  e0 s '
s '  1  e0
s'
 (1  e0 ) s '   
F
F
F
ds '
dt
dσ
dF


σ
s
t
'



    
    
hp
1
1
(1  e0 ) s '    (1  e0 ) s '   
hp 

t
s'
t

s'
M
0
d
 
1  e0
v
1
1
d  vp

d  dp
  const.
e
M
NCL(  0)
CSL
(  )
(1 e0 )DM    

1
lns'
-117-
弾塑性論の土への適用(4)-２次元
過圧密粘土
NC clay:
OC clay:
dF
 p 
h( NC )
dF
    
1
(1  e0 ) s '   

e
dF

h(pOC )
dF
  


1   G (d ) 

(1  e0 ) s '  

sc '
s'
OCR
d  (   ) ln
e0
1
eNC

d
 0 (d  0)
G (d )
単調増加関数
一例として
G (d )  a  d (a  0)
NCL (  0)
 
e

1
e0  eNC   ln
s0 ' s '
ln s '
sc '
s'
t
 (1  e0 ) D
s0 '
s'
(ここに、NC状態においてe  e0 , s '  s0 ' , t  0)
d  eNC  e
弾塑性論の土への適用(5)-２次元

過圧密粘土
   
   


1   G ( d )  
1   ad   0
(1  e0 ) s '  
(
1

e
)
s
'




0
したがって
NC
0
t
 f      (1  ad )
 s'  f
v
dの増分



d  (1  e0 ) d  v ( OC )  d  v ( NC )  (1  e0 ) d  vp( OC )  d  vp( NC )
 ad
    
1
dF
(1  e0 ) s '   
 
  
1   ad  1  

(1  e0 ) s '  
  
ad
dF ( 0)
 (1  e0 )
 

 1    ad 


また
d  d 0   d
1
 

  (1  e )  h 1


F
1
1
1 

 (1  e0 )

dF
    
  s '
1   ad 1 
 
(1  e0 ) s '  
 (1  e0 )
OC
M
peak強度では
h p  h(pOC ) 
-118-
t
s'
0

p
( OC )

1 
F
 dF
s '
h(pNC ) 
d
-119-
弾塑性論の土への適用(6)-２次元
正規圧密土
1.5
t
λ=0.4
κ*=0.1
M =0.5
1 υ=0.0
e0=2.0
d=0
0.5
0
L
CS
0.5
1
1.5
2
2.5
s'
3
0.5
1
ln s'
5
s'=1.0kgf/cm
σ2'=1.0kgf/cm2
d=0.0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5.0
10.0
15.0
20.0
d=0.0
NC
L
CSL
1.5
CS
L
e
t
undrained
2
η* = s'
εv (%)
10
2
20
40
60
80 ε
d (%)
1
100
0.5
-120-
弾塑性論の土への適用(7)-２次元
過圧密土
t
3
λ =0.4
κ*=0.1
M =0.5
2 υ =0.0
e0=2.0
d 0=1.0
1
0
CS
1
2
3
4
L
5
6
0.5
1
ln s'
5
s'=1.0kgf/cm2
a=3.0 & d 0=1.0
εv (%)
t
η* = s'
undrained
2
NC
L
CSL
1.5
20
40
60
80 ε
d (%)
100
CS
L
e
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5.0
10.0
15.0
20.0
σ2'=1.0kgf/cm2
1
a=3.0 & d0=1.0
0.5
10
-121-
弾塑性論の土への適用(8)-２次元
正規圧密土および過圧密土
0.5
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
5.0
10.0
15.0
20.0
εv (%)
CSL
5
10
s'=1.0kgf/cm2(d=0.0)
σ2'=1.0kgf/cm2(d=0.0)
undrained(d=0.0)
s'=1.0kgf/cm2(d 0=1.0)
σ2'=1.0kgf/cm2(d 0=1.0)
undrained(d 0=1.0)
d=0.0
1.5
CS
NC
L
L
e
t
η* = s'
2
ln s'
1
20
40
60
80 ε
d (%)
1
100
a=3.0 & d 0=1.0
0.5
-122-
多次元での地盤の応力・変形解析(1)
仮想仕事式
（ここでも圧縮応力、圧縮ひずみを正とする）
 ij
 .つり合い式.
xi
 Fj  0
(1)
S
1  u u 
 ひずみ  変位式
 ij    i  j  (2)
2  x j xi 
 応力境界( S )では T j   ij ni
(3)
V
 変位境界( Su )では
ui  ui
( 4)


 ij
 *
V  xi  Fj  u j dV  0
*
 T j   ij ni  u j dS  0
(1)式より
(3)式より
S

x2

x1
x3
Gauss の発散定理より
   ij *
  ij u *j 
 u *j 
 dV    ij u *j n i dS


dV
u


j
ij
V  xi
V   xi
S
 x i 

ここに
  ij *
*
V  xi u j dV  V F j u j dV
*
 u *j
1   u j  u i* 
*

dV

(  ij : symetric)

ij
ij
V  xi
V 2   xi   x j dV   V  ij ij dV


*
*
*
*
  ij u j ni dS    ij u j ni dS    ij u j ni dS    T j u j dS   T j u j dS
S
S
Su
S
以上より

V
 ij  ij* dV 

S
T j u *j dS 

Su
T j u j dS 

V
F j u *j dV
Su
Su
S  S  S u
-123-
多次元での地盤の応力・変形解析(2)
F (x)
Gaussの発散定理
1D
b
a f ( x)dx  F (b)  F (a)
ここに、　f ( x) 
2D
dF ( x)
dx
a
A
S x dS  l Ani dl
i
i  1で考える
a

A
dla
 
dx1dx2    Ab  Aa dx2
x1

na
  (dx )  (n  e )dl  n dl
b
1
2 b
b
b1 b
 
  (dx2 ) a  (n a  e1 )dla   na1dla
 したがって、　 A  A dx  A n dl  A n dl  An dl
 b a 2 lb b b1 b la a a1 a l 1

i  2 についても同様に成り立つ.


x
b
l
S

dx2
b
nb
dlb
(e 2 )
x2
x1 (e1 )
3D
A
V x dV  S Ani dS
i
-124-
多次元での地盤の応力・変形解析(3)
土・水連成有限要素解析
（ここでも圧縮応力、圧縮ひずみを正とし、増分形で表す）
有効応力式：
 ij   ij ' pw ij
σ  σ' p w  σ' pwI    (1)
  11    11 ' 
 1

 

 
  22     22 '   pw  1 
     
 0
12 
 12  
 
応力・ひずみ式：
 ij '  Dijkl  kl
σ'  D  ε    (2)
  11 '   D11

 
  22 '    D21
    D
12 

 31
D12
D22
D32
D13  11 


D23   22 
D33   12 
変位関数　N :
u  N  δ    (3)
l
k
e
j
i
k
i
x2
x1
e
j
 u ( x , x ) 
u   1 1 2 
 u2 ( x1 , x2 ) 
  1(i ) 
  1(i ) 




  2 (i ) 
  2(i ) 
δ   :  or   : 




  1( k ) 
  1(l ) 
  
  
 2( k ) 
 2(l ) 
N : (2  8) or (2  6) のmatrix
( x1 , x2 )の関数
e.g . CST要素



 u1  a1 x1  b1 x2  c1

 u2  a2 x1  b2 x2  c2



u  (u1 , u 2 )はi, j , k点でδとなるので 

6つの関係式が得られる。その結果、



a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2はi, j , k点の節点座標と


そこでの変位増分δの１次関数で表 



される。







Nは( x1 , x2 )の一次式


-125-
多次元での地盤の応力・変形解析(4)
土・水連成有限要素解析
ひずみ・節点変位matrix B：
e.g . CST要素



  a1 




 ε    b2   B  δ


  (a  b ) 


2
1 



B : 一定


ε  B  δ    (4)
 u1 x1
 11  


 

ε    22   
 u2 x2

     (u x  u x ) 
1
2
2
1 
 12  
 B  δ
仮想仕事式：

V
T
T
ε* σdV   u*T TdS   u TdS   u*T FdV
S
Su
 δ q
*T
( S )
 δ (q
*T
V
 δ q
( S )
*T
(V )
 q (V ) )
 δ*T q    (5)

ここに、


 0




u


 0


 




 q1( i ) 




q



2(i )



 q   :  : 等価節点力の増分




 q1( l ) 






q2 ( l ) 



 Sσ  
*T
*T T
*T

u
T
dS
δ
N
T
dS
δ
q










S

 S
  u*T ΔFdV   δ*T N T FdV  δ*T q V  
V
V




-126-
多次元での地盤の応力・変形解析(5)
土・水連成有限要素解析
T
δ*T q   ε* σdV  δ*T  BT σdV
V
V
q   BT σdV   BT σ  ΔpwI dV   BT DΔdV   BT ΔpwIdV
V
V
V
  BT DBdV  Δδ   BT IdV Δpw
V
V
 K  Δδ  C  Δpw    (6)
一方、要素eの体積ひずみ増分は
Δεv  Δε11  Δε 22  I T ε  I T B  Δδ    (7)
したがって要素eの体積圧縮量の増分は
(dV )   Δεv dV   I T BdV Δδ  CT  Δδ    (8)
V
V
(6), (8)式をまとめて、
K C δ  q


    (9)
 T

0   Δpw  ( dV )
C
δ #
q #
K#
 間隙水圧を考えない排水条件下では 






K
δ
q


V
-127-
多次元での地盤の応力・変形解析(6)
土・水連成有限要素解析
非排水条件下：
Δ(  dV)  0
2
圧密排水時：
4
4
pw( e )  pw( j )
j 1
j 1
 w sj
Δ(  dV)   keiej a j t   ke
a j t
4
 pw( e )    j pw( j )



   j 
j 1

a2
s2
a3
p w ( 3)
j 1
ここに、

k t a j

j  e
,

 w sj

3
pw( 2 )
s3
s4
pw(e )
1
1
pw(1)
a4
4
要素の透水係数が異なるとき：

 s j  le  k e l j

kj

ABが非排水境界のとき：
 p
w ( j )  pw ( e )

ABがpw  pwの排水境界のとき：

 s j  le & pw( j )  pw
a1
es
4
pw( 4 )
A
kj
ke
e
多次元での地盤の応力・変形解析(7)
sj
le
B
j
lj
-128-
土・水連成有限要素解析
ˆ #を作る。
各要素のK #をたし合わせることにより全体の剛性マトリックスK
ˆ #を設定する（1次元のときと同じ）。
境界条件に合わせてΔqˆ #をつくるとともにK
節点数がm, 要素数がNとしたとき,
2m  N
2m  N












ˆ#
K

   1(1)  q1(1)
 

  
q

  2(1)   2(1)





:
:









q



m
1
(
)


1( m )






 
q2( m ) 
2( m ) 



  pw(1)   (dV1 ) 

 
 




:
:





  p
 w( N )   (dVN )
Δδˆ #
Δqˆ #
ˆ#
K
なお、既知変位増分( i ( l )   i (l ) )が与えられる節点lでは、
 2(l  1)  i)行を
上式のその行（


.
1   i (l )   i ( l )


 とすればよい



-129-
地盤の応力・変形解析例(1)
盛土基礎地盤の解析
弾性１次元圧密解析によるcheck
盛土基礎地盤の断面図
盛土の施工過程
要素分割
-130-
地盤の応力・変形解析例(2)
盛土基礎地盤の解析
構成モデルの特徴
粘土・砂の要素試験結果と計算曲線
粘土・砂の材料パラメーター
-131-
地盤の応力・変形解析例(3)
盛土基礎地盤の解析
地表面沈下および側方変位の実測値と解析結果
沈下量の経時変化の実測値と解析結果
-132-
地盤の応力・変形解析例(4)
盛土基礎地盤の解析
鉛直変位・水平変位関係の解析結果
間隙水圧の実測値と解析結果
有効応力経路の解析結果
-133-
極限解析(1)
最大塑性仕事の原理
参考書：「地盤の支持力」柴田徹・
関口秀雄著（鹿島出版会）
塑性ひずみ増分 d ijp (あるいは塑性ひずみ速度 ijp ) が与えられたとき、
塑性状態（降伏曲面上）の応力 ijと弾性域（降伏曲面内）の応力 ij
を考える。塑性ひずみ増分方向 (あるいは塑性ひずみ速度方向)は応力
増分方向(あるいは応力速度方向)の影響を受けず応力状態だけで決まり、
次式が成り立つと仮定する.
 ij d   d

ij
p
ij
p
ij
    
p
ij ij
or
 p
ij ij
d ijp
(1)
P
Q
 ij
( ij   ij )d ijp  0
or
 ij
( ij   ij )ijp  0
f  F H 0
 降伏曲面は凸

 d  p   F
ij

 ij

ijp  
or
 ij
O
F
 ij
(関連流れ則）
-134-
極限解析(2)
応力場・速度場における仮想仕事式
（速度の不連続面を有する場合）
S  Su

V
仮想仕事式（応力・速度場）：
*
*
*
  ijijdV   T ju j dS   T j u j dS   Fju j dV
V
S
Su
V
ここに左辺の内部仕事率は
*
*
*
  ijijdV    ijijdV   WDdS
V 
V
1

    dV   ( p v  p v )dS
V
*
ij ij

*
n Rn
pn
xn
*
s Rs
ps

xs

  T u dS   T j udS   F u dV
S
*
j j
Su
V
*
j j
vRn
1
速度の不連続面を有するときの仮想仕事式は：
*
*
*
  ijijdV   ( pn vRn  psvRs )dS
V
vRs
( 2)
W D  

0
 pnn  pss dxn  0  pn vRn  ps vRs dxn
1
 ( pn vRn  ps vRs )  

 pn vRn  ps vRs



 
-135-
極限解析(3)
f
下界定理
H
可容応力場と構成関係を仮定
(速度の適合条件を満足するとは限らない）
構成関係：剛塑性体
(剛性域 : ε  0, 塑性域 : ε  ε p )
ε
0
剛塑性問題の正解の応力場を ij , 降伏曲面上あるいは内側でつり合い式を満足するように
仮定した応力場を ijとし、それぞれの可容応力場で仮想仕事式を使う。


V
V
*
*
 dV   ( pn vRn
)dS   T j u *j dS   T j u j dS   F j u *j dV
 ps vRs
(3)
*
*
 dV   ( pn vRn
)dS   T ju *j dS   T j u j dS   F j u *j dV
 ps vRs
( 4)
p*
ij ij

 p*
ij ij
S

S u
S
S u
T j  T j と(3), (4)式より、

最大塑性仕事の原理 (

V
V

V
*
*
( ij   ij )ijp*dV   ( pn  pn )vRn
 ( ps  ps )vRs
dS   (T j  T j )u j dS


S u
(T j  T j )u j dS  0
ij
S u

*
*
  ij )ijp*  0 and ( pn  pn )vRn
 ( ps  ps )vRs
 0 より、
(5)
ここで u j  const.な条件で境界変位速度を与えるとすれば、

S u
T j dS   T j dS
( 6)
S u

したがって、
 T j dS は正解の極限荷重なので、可容応力場を勝手に仮定して求めた荷重  T j dS は
S u
S u
正解を越えない。また、このことは勝手に仮定した許容応力場で求めた荷重の最大値がもっとも
極限荷重の正解に近いことを意味する
-136-
極限解析(4)
上界定理
可容速度場と構成関係を仮定
( 応力はつり合い式を満足するとは限らない）
構成関係：剛塑性体
(剛性域 : ε  0, 塑性域 : ε  ε p )
*
*
可容速度場で仮定したひずみ速度ijp* および( vRn
, vRs
)に対応する応力場 ijKは構成関係
から求められる。一方、正解の応力場を ij とすれば、最大塑性仕事の原理から、
 (
 ( p
V

K
ij
  ij )ijp*dV  0
K
n
*
*
dS  0
 pn )vRn
 ( psK  ps )vRs
( 7)

(8)
(7), (8)式と仮想仕事式から
*
*
D K    ijK ijp*dV   ( pnK vRn
 psK vRs
)dS

V
*
*
    dV   ( pn vRn
 ps vRs
)dS
V
*
ij ij

  T u dS   T j u j dS   F j u *j dV  D
S
*
j j
Su
V
(9)
上式の意味するところは、Dは正解の応力場における仮想仕事率を表しているので、任意に
速度場を仮定してそれに対応する応力から得られた仕事率D Kは正解のDよりも必ず大きく
なる。つまり仮想速度場を仮定しそれに対応する応力（つり合い式を満足するとは限らない）
から得られる仕事率の最小値がもっとも正解の極限載荷時の仕事率に近い。
-137-
極限解析(5)
下界・上界定理の適用例
自重のないTresca剛塑性体の支持力

下界法
q
a
b
4cu
cu
d
c
0
0
2cu 2cu
e
II
f
I
II
F  t  cu  0
2cu
q   4cu
II

4cu
I
上界法
b
b
a
q
u0
c
u0
2u0
d
2u0
u0
q K  b  u0  2  cu  2b  2u0  cu  b  2u0
q K  b  6  cu  b
q K  6cu
(正解 : q  (  2)cu )
4cu  q  6cu
極限解析(6)
Mohr-Coulomb 剛塑性体の塑性仕事率
  ps

pn
xn

s
n

c
  pn
c
0
 2
s 2
ps  c  pn tan 
ps


pn

vRs
ps
vRn
1
xs
  c   tan 

-138-
1
n
v
v 


W D  0  pnn  pss dxn  0  pn Rn  ps Rs dxn

 

1
 ( pn vRn  ps vRs )  

 pn vRn  ps vRs
 n
 tan 
s
0

vRn n
c  ps

  tan  
vRs s
pn
したがって、
W D  pn vRn  ps vRs  ( c  ps )vRs  ps vRs  cvRs
  0すなわちTresca 塑性体でも
W D  cvRs

-139-
極限解析(7)
擁壁土圧(主働)への適用

下界法
q
 22
Pa

 11
x2
  c   tan 
c
 22   I   ( H  x2 )  q 

H  11   II  K  ( H  x2 )  q (1)

 12  0


0
c cot 
 II
I

Mohr - Coulomb規準 :
 I   II  2c cos   ( I   II ) sin  ( 2)
x1
(1), (2)式より
 (1  K )( H  x2 )  q (1  K )   (1  K )( H  x2 )  q(1  K )sin   2c cos 
K
1  sin 
2c
cos 


1  sin   ( H  x2 )  q 1  sin 
Pa  

H
0

H
11dx2  K  ( H  x2 )  qdx2
0

 H 2


 qH  tan 2 (45   2)  2cH tan(45   2)
 2



     Rankine主働土圧
-140-
極限解析(8)
擁壁土圧(主働)への適用
q
Pa
上界法
K
v 
x2 
*
H
v1*   v* sin(   )
v2*  v * cos(   )
x1
c  v* cos   ( H sec )   PaK  v* sin(   ) 

H
2
2
tan   v* cos(   )  qH tan   v* cos(   )
 H

cos(   )
cos 
 qH  tan 
 cH
PaK  
sin(   )
cos sin(   )
 2

K
ここで Pa の極値をとるを求めると
dPaK
0

  45   2
d
したがって
 H 2

cos 
 qH  tan(45   2) tan(45   2)  cH
PaK   45  2  

cos(45   2) sin(45   2)
 2


 H 2
 2 
 
 qH  tan (45   2)  2cH tan(45   2)
2


2
ここに、　Pa  PaK
  45  2
なのでこれらの下界法および上界法で得られる土圧は正解。
また、受働土圧についても同様に下界、上界値が一致する。
ここで得られた主働・受働土圧はCoulomb, Rankine土圧とも一致。
-141-
極限解析(9)
擁壁土圧(主働)への適用
上界法による掘削限界深さ
Pa  0となる壁面高さが自立限界高さと考えられるので、
主働土圧計算より
q
Pa   45    0
2

  2q

tan  45   

2 

q  0,  0では
4c
Hc 
Hc 
z  Hc

4c

教科書Q 7  2  5、問題7  1、問題7  5参照
-142-
ovserved
15
2q V /B
2q v/B
極限解析(10)
支持力問題への適用
10
5
0
analyzed
40
30
20
10
0.02
0.04
0.06
v/B
0.08
0
載荷板の幅
B=8cm
B=12cm
B=16cm
0.1
0.2
v/B
0.3
-143-
極限解析(11)
支持力問題への適用
B
上界法
v*
a
45 
v1

2

q0
b
45 
 45  
45 
d
v1 sin(45   2)
45 
v2 sin 
2
v1
v*
45 


2



2
  vRn 
v2 cos(45   2)  v1
 

 tan 

v2 sin(45   2)
  vRs bd

v3  v2 sin(45   2)
  vRn 



 tan 

 v 
v2 cos(45   2)
  Rs be
(1)
(2)
各辺長および各三角形の面積 :

1
 v1 
 v*  1v*
cos(45   2)


1
 v2 
 v*   2 v*

cos(45   2)  sin( 45   2) tan  cos(45   2)

cos(45   2) tan   sin( 45   2)
*
*
v 
 3 cos(45   2)  sin( 45   2) tan  cos(45   2)  v   3v


2
v3
上図および(1), (2)式より、各剛体の速度は :

45 
c

e
v3 cos(45   2)
v2 cos 


v2

2
2
45 
v3
2
v2

v3 sin( 45   2)


 ab  B

 ad  bd  (1 2) B cos(45   2)

 be  ce  (1 2) B tan(45   2) cos(45   2)


2

 bc  2be  sin( 45   2)  B tan (45   2)
 de  (1 2) B tan 2 (45   2)  1

 abd  (1 4) B 2 tan(45   2)

2

2

 bde  (1 8) B tan(45   2) tan (45   2)  1

2
3

 bce  (1 4) B tan (45   2)




-144-
極限解析(12)
支持力問題への適用
内部仕事率Dint :
Dint  v1 cos   c  ad  v2 sin( 45   2)  c  bd  v2 cos   c  de  v2 cos(45   2)  c  be  v3 cos   c  ce
物体力と外力による外部仕事率Dext :
Dext  v *  q  B  v*    abd  v2 sin     bde  v3 sin( 45   2)    bce  v3 sin( 45   2)  q0  bc





N,Nq,Nc
Dint  Dextより:
1000
1
q  B  1 4  2 sin  tan( 45   2) tan 2 ( 45   2)  1
=0 : N=0
2
Nq=1



3
Nc=6
 1 2  3 sin(45   2) tan ( 45   2)  1 2  tan( 45   2)



2
100
 c  1 2 1 cos  cos(45   2)   2 tan( 45   2)  1 2  2 cos  cos ( 45   2)
 1 2  3 cos  tan( 45   2) cos(45   2)
 q0   3 sin( 45   2) tan 2 ( 45   2)

 4 sin  tan( 45   2) 
 1  2 sin  1  sin 

1  2 sin  1  sin   10
1
 B  
 c  cot  

 1  q0  



2
 1  2 sin  1  sin 

1  2 sin  1  sin  
 (1  sin  )(1  2 sin  ) 


1
q  B  N   c  N c  q0  N q
2
( N  , N c , N q : の関数）
ここに、  0のときは v1  2v* , v2  2v* , v3  2v*となり:


（教科書 Q7 - 2 - 6 参照） 
 q  6c  q0
1
N
Nq
Nc
0.1
0
10
20
30
40

-145-
極限解析(13)
支持力問題への適用
上界法(扇形塑性域を含む)
B
v*
a
45 
I
三角形剛体変位領域I, IIIの速度 :

1
 v*  1v*
 v1 



cos(45
2)

 v3  v1 exp  2  tan  

exp  2  tan   *
 
 v   3 v*

cos(45   2)


q0
b
2
 r1
d
45 
v1

2
v3
r3
II
f
45 
III v3


45 
e
c

2

2
 v1

三角形剛体変位領域の各辺長および各三角形の面積 :
 ab  B


v cos 

 ad  bd  r1  (1 2) B cos(45   2)
 be  ce  r  bd  exp 2  tan    (1 2) B  exp 2  tan   2 cos(45   2)
3
(  45   2   )



 bc  2be  sin(45   2)  B  exp 2  tan  tan( 45   2)

 ef  (1 2) B  exp 2  tan  
領域IIの自重による外部仕事率D ( II ) :
 abd  (1 4) B 2 tan( 45   2)
 bce  (1 4) B 2 tan( 45   2) exp( tan  )

135  2 1


2

D

(
II
)

 45  2 2 r d    v cos 

1 2
  r 2 v cos(45   2   )d

領域IIの内部仕事率Dint( II ) :
2 0

1 2 2
 Dint( II )  cv1r1 cot  exp( tan  )  1 (  0)

 r1 v1  exp(3 tan  )(45   2   )d
0

2

or


1 2  cos(45   2)
(  0)
 cv1r1
 r1 v1 

exp  (3 2) tan    3 tan 

2
2
 9 tan   1


sin(45   2)


exp  (3 2) tan   3 tan   1
2



9
tan
1


v
-146-
1000
N,Nq,Nc
極限解析(14)
支持力問題への適用
=0 : N=0
Nq=1
Nc=5.14
100
10
 内部仕事率Dint :
 D  v cos   c  ad  D
int( II )  v3 cos   c  ce
 int 1
物体力と外力による外部仕事率
Dext :

 Dext  v*  q  B  v*    abd  D ( II )  v3 sin(45   2)    bce  v3 sin(45   2)  q0  bc



N
Nq
Nc
0.1
0
10
20
30
40

1000
N,Nq,Nc
Dint  Dextより、
1
q   B  N  q0  N q  c  N c
2
ここに、
1
1  sin 

 N  9 tan 2   1  1  sin   exp  (3 2) tan    2 tan  (2 tan   1)

1
1
1
1

 tan(45   2)  

3 tan   tan(45   2)
2
2 9 tan 2   1 1  sin 

1  sin 

 N q  1  sin  exp( tan  )
 N  ( N  1) cot 
q
 c
1
=0 : N=0
Nq=1
Nc=6
100
10
1
N
Nq
Nc
0.1
0
10
20
30
40

-147-
極限解析(15)
支持力問題への適用
O
扇形塑性域の内部仕事率
dr
dr
 tan 

 r   tan d
rd
ln r   tan   c
  0 : r  r0
r  r0 exp( tan  )
: 対数らせん
r d
A
O

r0
r
v

rd

r
dr

v0
l
B
対数らせん上の不連続面で重なり合わないためには速度vは次式を満足する必要がある。
dv
 tan 

v  v0 exp( tan  )
vd
また、動径r方向の速度のjump(相対変位速度)は
vRr  v  d
v  dv
d
vd 
v
動径r方向の塑性仕事率 Dint( r )は


0
0
Dint( r )   c  vRr  r  c  v  rd
一方、静止剛体との速度の不連続線上での全塑性仕事率Dint( l )は


0
0
Dint( l )  c  v cos dl  c  v  rd  Dint( r )
したがって、扇状塑性域の全仕事率は

Dint( r l )  2 Dint( r )  2cv0 r0  exp( 2 tan  )d
0
 cv0 r0 cot  exp( 2 tan  )  1
(  0)
 2cv0 r0
(  0)
or
-148-
極限解析(16)
支持力問題への適用
Nc, Nq間の関係

N 
1  sin 
exp( tan  )
or
 q
1
1  sin 
q  BN   cN c  q0 N q  N  ( N  1) cot 
q
2
 c
c  0 & q0  0
B
1  2 sin  1  sin 

1  2 sin  1  sin 
c  0 & q0  0
B
q1
q1
q0




( q1  q0 )  q0 N q

q1  q0 ( N q  1)
 cN c
( q0  c cot  )

c

c cot 
q1  cN c
-149-
極限解析(17)
支持力問題への適用
慣用法（極限つり合い法）
極限つり合い法 : 地盤を剛体ブロックに分けてブロックの力のつり合いあるいは
モーメントのつり合いを考えて極限荷重を求める。
力学としての厳密性に欠けるが、慣用的な土圧、支持力、斜面安定解析は
基本的にこれに基づいている計算されていることが多い。
詳細は教科書等参照。
 極限つり合い法：
O点まわりの半円ブロックのモーメントのつり合いを考えて、

1
B  qB   B  cBd  cB 2
0
2

q  2c
B
q
v*
O
 0
 上界法：
境界面で下向き速度v*と円弧状の塑性域を考えて,
Dext  qB  v*  2cv * B  Dint

q  2c
教科書Q 7  1  4、Q 7  2  8参照
-150-
極限解析(18)
斜面安定問題への適用
無限長斜面

Hc
 


v*
l
Dint  v * cos   c  l  v*  sin(   )    H c cos   l
 v *  (sin  cos   cos  sin  )    H c cos   l  Dext
c cos   H c cos  (sin  cos   cos  sin  )

c cos 
 cos  (sin  cos   cos  sin  )
c
1

 cos  sin   cos2  tan 
c
1

 cos2  (tan   tan  )
Hc 
教科書Q 9  1  4、
(9  7式)参照
-151-
極限解析(19)
斜面安定問題への適用
慣用斜面安定解析法と上界法の関係参考文献：
O
「円弧すべり法の力学的考察」
大塚悟・浅岡顕・松尾稔
(第2回地盤工学シンポジウム；地盤工学会中部支部）
r
*
r
Wi
O点を中心に剛体回転する速度場を仮定し、回転速度*とする。
この時、vi*  r*
i
*
i
v
Ti
li
 0
(s  vRs  )

強度安全率FS :
c
FS 
 c
c

Dext  Wi  r*  sin i

i
Dint   Ti  r*  
i
i
Dext  Dintより
FS 
c
li  r*
FS
 cl
i
(  0のFellenius法、　Bishop法と一致)
i
W sin 
i
(n  vRn  )
i
極限つり合い法
i
-152-
極限解析(20)
斜面安定問題への適用
(s  vRs  )
 0

Vi 1
(非関連流れ則を仮定)
  c   tan 
Wi
Ei 1
Ei
li
Vi
vi*

c
 Vi  Vi 1  Vi

 Ei  Ei 1  Ei
Ti

Ni
Ti  (Wi  Vi ) sin i  Ei cos  i
N i  (Wi  Vi ) cos i  Ei sin  i
FS 
c  tan 


cli  N i tan 
Ti
vRs
(1)
( 2)
1
(3)
Dext  Wi  r*  sin i
i
Dint   Ti  r*  
i
i
cli  N i tan 
 r*
FS
Dext  Dintより
 cli  N i tan  
FS  i
Wi sin i
i
( 4)
vRn  0
W D  vRn  vRs  vRs
 ( c   tan  )vRs
(n  vRn  )
-153-
極限解析(21)
斜面安定問題への適用
(3)式を代入すれば：
 (1), ( 2)式よりEを消去して、
Wi  Vi
Wi  Vi cli  N i tan 
tan i
Ni 
 Ti tan i 

cos i
cos i
FS

1
sin i
(5)
N i  (Wi  Vi )  cli
mi
FS


1
 mi  cos i  sin i tan 
(6) 
F
S


( 4)式に代入して、
 cli cosi  (Wi  Vi ) tan   mi 
FS  i
Wi sin i
(7) : Bishop法
i
Vi  0を仮定すれば、簡易Bishop法
Vi
 tan iとすれば：
Ei
N i  Wi cos i
( 4)式に代入して、
 cli  Wi cosi tan  
FS  i
Wi sin i
 (1), ( 2)式で
(8) : Fellenius法
i
-154-
極限解析(22)
斜面安定問題への適用
v*
v * tan i
vi*
Wi
i
v * cos i
vi*
vi*
水平方向の速度v*を考える。
i
Ti
li
Dext  Wi v * tan i
i
v*
 V j (tan  j 1  tan  j )v*
cos i
i
j
ここに、

Vi  Vi 1  Vi 



j V j (tan  j1  tan  j )v*  i Vi v* tan i

V1  Vn 1  0 

Dint   Ti
したがって、Dext  Dintより、
 (W  V )v
i
i
i
*
tan i   Ti
i





v*
cl  N i tan  v *
 i
FS
cos i
cos i
i
(5), (6)式を利用して、
 (W  V ) tan 
i
i
i

i
1
FS
 cl cos
i
i
 (Wi  Vi ) tan   ( mi cos i )
i

FS 
 cli cosi  (Wi  Vi ) tan   (mi cosi )
i
 (W  V ) tan 
i
i
i
i
(9) : Janbu法
-155-
極限つり合い法(1)
H cot 
Coulomb土圧
q
W
主働土圧:
P
R

c  0の場合
   tan 
T

N

T  N tan 
H
P
R
N  
W
T
1
1

W   H 2 cot   qH cot     H 2  qH  cot 
2
2


W
P

sin  2      sin    
(1)
(2)
(1), (2) 式より
1

P    H 2  qH  cot  tan    
2

P
 cot  tan    
1
 H 2  qH
2
(3)
(4)
-156-
極限つり合い法(2)
Coulomb土圧
dP
 0より
d
tan    
cos 


0
2
2
sin 
cos     sin 

sin  cos  2   
sin 2  cos 2    
0

cos  2     0

  45   2

  45   2
1

 PA    H 2  qH  tan 2  45   2 
2

(5)
(6)
-157-
極限つり合い法(3)
Coulomb土圧
(5)式の証明
dP
 0 より:
d
cot  tan      '  0
　-
tan    
sin 
2
1
 cot 
cos    
2
 tan     cos 2      cos  sin 
sin 2  cos 2    
0
0
分子=0：
 tan     cos 2      cos  sin   0
  sin  cos   cos  sin   cos  cos   sin  sin    cos  sin   0
sin  cos   sin 2   cos 2   1  sin  cos   cos 2   sin 2    0
sin   2sin  sin  cos   cos  cos 2   cos  sin 2    0
sin   sin  sin 2  cos  cos 2   0
sin  cos  2     0
cos  2     0
  45   2
  45   2
-158-
極限つり合い法(4)
H cot 
Coulomb土圧
q
T
P


T  N tan 

1
1

W   H 2 cot   qH cot     H 2  qH  cot 
2
2


W
P

sin  2       sin    
(1), (2) 式より
1

P    H 2  qH  cot  tan    
2

P
 cot  tan    
1
2
 H  qH
2
(3)
(4)
H
R
N

c  0の場合
   tan 
P
W
受働土圧:
T
(1)
(2)
R

N

W
-159-
円弧すべり解析(1)
斜面安定問題への適用
(1) X i  0 :
Ei 1  Ei  T cos   N sin   0
Vi 1  Vi  W  T sin   N cos   0
b

(3) M i  0 :
W  d  T  s  N  n  Vi 1  d  
2

b

 b

 Vi  d    Ei 1  t  tan   hi 1 
2

 2

 b

 Ei  t  tan   hi   0
 2

1
(4) 破壊条件 :T   cl  ( N  ul ) tan  
Fs
(2) Yi  0 :
O n
d
t
( n)
s
(i )
Vi
W
Vi 1
Ei h
i
(1) hi 1 Ei 1
Y
N
X
(nヶ)
(nヶ)
(nヶ)
(nヶ)
したがって、　条件式は計　ヶ
4n

T
l
b
未知数は
N
T
(n)ヶ
(n)ヶ
Ei
(n  1)ヶ
Vi
(n  1)ヶ
hi
(n  1)ヶ
FS
(1)ヶ
計
(5n  2)ヶ
したがって、 (5n  2)  4n  n  2 次の不静定問題
-160-
円弧すべり解析(2)
斜面安定問題への適用
(3)式のM i  0 (n)ヶに着目する。　ここで、　1ヶの条件式が残る。
これらの式からhi (n  1)ヶを消去すると、
すなわち次式が残る
(5)
M  0
すなわち
 W  d  T  s  N  n   0
（  Ei とVi の項は全体で打ち消し合いゼロとなる）
また、　すべり面が円弧の場合には　Nの項がなくなるので
 W  d  T  s   0

 W (sin   r )   T  r

W sin    T
円弧すべり解析(3)
E  Ei  Ei 1 
としたときE  tan   Vi
V  Vi  Vi 1 


つまり、　E , V の合力 Q が T に平行
Fellenius法
d
O
r
-161-
もしくは
r
 E  0 & V  0

この場合 N  W cos 
Vi
W
T 方向のつり合い式は考慮していない
Vi 1
Ei
Ei 1

W sin    T
T
N
ここに、
l
T
Q
1
cl  ( N  ul ) tan 
FS
 cl  ( N  ul ) tan    cl  N  tan 
W sin 
W sin 
 cl  (W cos   ul ) tan 

W sin 
FS 
N
W
T
 UU 解析： c  cu ,   0

 CU 解析： c  c,    
 CD解析：　c  cd ,   d

-162-
円弧すべり解析(4)
Fellenius法の問題点


u
N   W cos   ul  W cos  1 

2
  h cos  
b
b
W
h

l
b
W

cos   h cos 

l
ex.  =1.8tf/m3 ,
u h  1.0 の時
  41.82 で N  が負になる。
修正Fellenius法
W   W  ub として、
N   W  cos   W cos   ub cos   W cos   ul cos 2 
 ub 
 W cos  1    W cos  1  ru 
 W
u
ここに、ru 
h
-163-
円弧すべり解析(5)
 O点まわりのモーメントのつり合いから
Bishop法
d
O
r
FS 
r
Vi
Vi 1
N  cos   W  (Vi  Vi 1 )  ul cos   T sin 
Ei
Ei 1
一方、 T 

FS 
l
1
cl  ( N  ul ) tan 
FS
 cl cos   (W  V  ul cos  ) tan 
W sin 
(3)
m 
V  0 を仮定すれば、簡易Bishop法
W
N
Q
Bishop法では X i  0 を使っていない。
V
E
 UU 解析： c  cu ,   0

 CU 解析： c  c,    
 CD解析：　c  cd ,   d

-164-
円弧すべり解析(6)
(4)式の誘導
(4)
ここに、m  cos  1  tan  tan  FS 
T

(2)
(3) 式を(2)式に代入し、N  で整理し、この N を (1)式に代入　T
N
(1)
 鉛直方向の力のつり合いから
N cos   W  (Vi  Vi 1 )  T sin 
( N   N  ul )

W
 cl  ( N  ul ) tan 
W sin 
(2), (3)式より
N  cos   W  V  ul cos  
cl  N  tan  sin 
FS
N  cos  1  tan  tan  FS   W  V  ul cos  
cl tan  cos 
FS
m
(1)式に代入して
cl  N  tan  cos 


W  V  ul cos  


FS
tan  
 cl 
m



FS 
W sin 



cl cos   cl cos 
cl tan  cos 
tan  tan  
  W  V  ul cos  
FS
FS

m
W sin 
 cl cos   (W  V  ul cos  ) tan 
W sin 
m 
ここに、m  cos  1  tan  tan  FS 

 tan 

(1) X i  0 :
円弧すべり解析(7)
T cos   N sin   E
T sin   N cos   W  V
1
(4) 破壊条件 :T   cl  ( N  ul ) tan  
Fs
(2) Yi  0 :
Janbu法
(nヶ)
-165-
(nヶ)
(nヶ)
上式から N , T を消去すると E に関する式が nヶ出来る。
E ,  
全帯体について E を加算し、( n  1)ヶのEiを消去すると、
残りの水平力の条件式として
 E  E
0
Vi
W
Vi 1
Ei
Ei 1
T
N

 En  0
(2) 式より、
W  V  T sin 
N
cos 
(1)式に代入して
E  T cos   W  V  T sin   tan 
T
 W  V  tan 
cos 
（(4)式を代入）
cl  ( N  ul ) tan 

 W  V  tan 
FS cos 
l

 E  0の条件より
 cl  ( N  ul ) tan  cos  
F 
 W  V  tan 
 cl cos   (W  V  ul cos  ) tan  (cos   m) 

 W  V  tan 
S
V  0 を仮定すれば、簡易Janbu法

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