今日の練習問題の解答例

関数近似練習問題解答例
情報工学科篠埜功
2014 年 5 月 12 日
この資料では今日の練習問題の解答例を示す。
問関数 cos x に区間 [− π2 , π2 ] 上で最も近い二次関数を求めよ。近さの尺度として
は、y 座標の差の 2 乗の区間 [− π2 , π2 ] における積分（の半分）を用いよ。
解答求める二次関数を f (x) = ax2 + bx + c とおく。関数 f (x) と cos x の y 座標
の差の 2 乗の区間 [− π2 , π2 ] における積分の半分
1∫ 2
J =
{f (x) − cos x}2 dx
2 − π2
π
1∫ 2
=
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
2 − π2
π
を最小にするような a, b, c を求めればよい。J を最小にするには、J の a, b, c での
偏微分が 0 になる点を求めればよい。つまり、
∂J
= 0,
∂a
∂J
= 0,
∂b
∂J
=0
∂c
を解けばよい。まず、a での偏微分は、
∂J
∂ 1∫ 2
=
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
π
∂a
∂a 2 − 2
π
1 ∂ ∫ 2
=
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
π
2 ∂a − 2
π
1∫ 2 ∂
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
=
π
2 − 2 ∂a
π
1∫ 2
=
2{ax2 + bx + c − cos x}x2 dx
2 − π2
π
∫
=
− π2
∫
=
π
2
π
2
− π2
∫
= a
{ax2 + bx + c − cos x}x2 dx
{ax4 + bx3 + cx2 − x2 cos x}dx
π
2
− π2
∫
x4 dx + b
π
2
− π2
∫
x3 dx + c
1
π
2
− π2
x2 dx −
∫
π
2
− π2
x2 cos xdx
である。ここでそれぞれの積分を計算すると、x4 については、
∫
∫
π
2
π
2
4
x dx = 2
− π2
x4 dx (x4 は偶関数なので)
0
[
x5
= 2
5
5
π
=
80
である。x3 は奇関数なので、
∫
]π
2
0
π
2
x3 dx = 0
− π2
である。x2 については、
∫
∫
π
2
x dx = 2
− π2
[
π
2
2
x3
x dx = 2
3
]π
2
2
0
=2·
0
π3
π3
=
24
12
2
である。x cos x については、
∫
π
2
− π2
∫
2
x cos xdx = 2
である。まず、
π
2
x2 cos xdx (x2 cos x は偶関数なので)
0
∫
π
2
x2 cos xdx を計算する。
0
∫
π
2
x2 cos xdx =
0
[
x2 sin x
]π
2
0
−
∫
π
2
2x sin xdx
0
∫
π2
2
=
−2
x sin xdx
4
0
π
となる。ここで
∫
π
2
0
x sin xdx を計算する。
∫
π
2
[
x sin xdx =
0
cos x
x
−1
π
2
]π
2
0
−
∫
0
π
2
cos x
dx
−1
= [sin x]0
= 1
∫
である。よって、
π
2
0
x2 cos xdx の続きの計算をすると、
∫
π
2
0
π2
x cos xdx =
−2·1
4
π2
=
−2
4
2
となる。よって、 ∂J
は、
∂a
∂J
π5
=
a+
∂a
80
π5
=
a+
80
π3
π2
c − 2( − 2)
12
4
π3
π2
c−
+4
12
2
2
となる。次に、b での偏微分は、
∂J
∂b
∂ 1∫ 2
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
∂b 2 − π2
π
1 ∂ ∫ 2
=
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
2 ∂b − π2
π
1∫ 2 ∂
=
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
π
2 − 2 ∂b
π
1∫ 2
2{ax2 + bx + c − cos x}xdx
=
π
2 −2
π
=
∫
=
π
2
− π2
∫
=
π
2
− π2
∫
= a
{ax2 + bx + c − cos x}xdx
{ax3 + bx2 + cx − x cos x}dx
∫
π
2
x dx + b
− π2
∫
π
2
= 2b
∫
π
2
3
π
2
2
− π2
x dx + c
− π2
xdx −
∫
π
2
x cos xdx
− π2
x2 dx (x3 , x, x cos x は奇関数、x2 は偶関数なので)
0
π3
= 2b ·
24
π3
=
b
12
である。次に、c での偏微分は、
∂J
∂c
∂ 1∫ 2
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
∂c 2 − π2
π
1 ∂ ∫ 2
=
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
π
2 ∂c − 2
π
1∫ 2 ∂
=
{ax2 + bx + c − cos x}2 dx
π
2 − 2 ∂c
π
1∫ 2
=
2{ax2 + bx + c − cos x} · 1 dx
π
2 −2
π
=
∫
=
π
2
{ax2 + bx + c − cos x}dx
− π2
∫
= a
∫
π
2
2
− π2
∫
= 2a
0
π
2
x dx + b
π
2
− π2
∫
xdx + c
x dx + πc − 2
∫
π
2
2
0
π
π3
+ πc − 2 [sin x]02
= 2a ·
24
π3
=
a + πc − 2
12
3
π
2
− π2
1 dx −
cos xdx
∫
π
2
− π2
cos xdx
1
(60*pi**2-720)/pi**5*x**2+(60-3*pi**2)/pi**3
cos(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
図 1: 関数 cos x に最も近い 2 次関数
である。これらを 0 とおくと、以下のような a, b, c に関する連立一次方程式が得ら
れる。
π5
π3
π2
a+ c−
+4=0
80
12
2
π3
b=0
12
π3
a + πc − 2 = 0
12
となる。これを解くと、
a=
60π 2 − 720
,
π5
b = 0,
c=
60 − 3π 2
π3
となる。以上より、求める 2 次関数は
f (x) =
60π 2 − 720 2 60 − 3π 2
x +
π5
π3
である。これを関数 cos x とともに区間 [− π2 , π2 ] において図示すると、図 1 のよう
になる。図 1 において、赤色の曲線が求めた 2 次関数であり、緑色の曲線が関数
cos x である。
4

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