§2 定積分数学 A2 2.1 準備: Σ 記号の使い方和の記号: n ∑ ak = a1 + a2 + · · · + an k=1 k はダミー変数で, 他の文字でもよい. たとえば n ∑ k=1 ak = n ∑ ai . i=1 ［例題 2.1］次の式を (1) (2) (3) 10 ∑ k=1 n ∑ i=1 n−1 ∑ ∑ を用いずに表せ. 2k = i2 = k(k + 1) = k=2 いくつかの数列について和の公式が知られている. 公式 (1) (2) (3) n ∑ k=1 n ∑ k=1 n ∑ 1 =[ ] k =[ ] k 2 =[ ] k=1 これらの公式を次の性質と組み合わせて, さらにいろいろな和が計算できる: 1 公式 (1) (2) n ∑ k=1 n ∑ (ak + bk ) =[ ] cak =[ ] k=1 ［例題 2.2］ (1) n ∑ (2k + 3) = k=1 (2) n ∑ k(k + 1) = k=1 2.2 定積分の定義 [a, b] で定義された関数のグラフと, x = a, x = b, y 軸で囲まれる部分の面積 S を求める. 簡単のため, a ≤ x ≤ b で f (x) ≥ 0 とする. 分割区間 [a, b] を n 個の小区間に分ける. 近似 “階段型図形”の面積 Sn で近似する. 2 y y = f (x) f (ξk ) O a = x0 x1 x2 xk−1 ξk xk ∆xk xn−1 xn = b 極限階段の段を狭めて滑り台にする. この極限が存在するとき [ ] といい, 関数 f (x) の x = a から x = b までの [ ] という. 一般に [a, b] で連続ならば積分可能である. ∫ b f (x) dx = lim ∆xk →0 a n ∑ f (ξk ) ∆xk k=1 この式を定積分の定義とすると, f (x) ≤ 0 の場合は次のようになる． ∫ b f (x) dx = −S a すなわち x 軸より下はマイナスの面積とみなす. ∫ ∫ a また f (x) dx = − f (x) dx = 0 , a ∫ a b f (x) dx と定める． a 3 b x ［例題 2.3］ ∫ y 1 定義から x dx を求める. 1 0 区間 [0, 1] を n 等分すると, xk = [ ], ∆xk = [ ] また ξk = xk にとると f (ξk ) = f (xk ) = Sn = n ∑ [ ] k n f (ξk )∆xk = O k=1 1 2 n n 1 k n n x 1 n → ∞ のとき ∆xk → 0 となるから ∫ 1 x dx = 0 ［例題 2.4］ ∫ y 1 2 定義から 1 x dx を求める. 0 前問と同様に [0, 1] を n 等分すると, O 4 1 x