(調和振動子における不確定性関係)harmonic-uncertainty-qa140611A.tex 調和振動子系において，質量 m の粒子の位置の不確定さを ∆x，運動量の不確定さを ∆px をもつエネルギーの最小値を以下の手順で求めよ．プランク定数 h から定義されるディラック定数を h ¯ (≡ h/2π)，角振動数を ω とする． 1. この粒子の座標を ∆x，運動量を ∆px として, 運動エネルギーと弾性によるポテンシャルの和 E をこれらで表せ． 2. 位置と運動量の不確定性関係を記せ． 3. 前問の結果を用いて，エネルギー E を ∆x(または ∆px ) の関数として表し，その最小値を与える ∆x(または ∆px ) を求めよ。 4. 前問の結果を用いてエネルギーの最小値を求め，1 次元の調和振動子系のエネルギー固有値と比較せよ。 (解答例) 1. 運動エネルギーと弾性によるポテンシャルの和であると考えて E= (∆px )2 1 + mω 2 (∆x)2 . 2m 2 (1) 2. 題意より ∆x · ∆px ≥ h ¯ . 2 (2) 3. 位置と運動量の最小の不確定性より ∆px = h ¯ /(2∆x) をエネルギーの式に代入すると 1 E = 2m ( h ¯ 2∆x )2 1 + mω 2 (∆x)2 = 2 ( h ¯2 8m ) 1 1 + mω 2 (∆x)2 . 2 (∆x) 2 (3) となる。ここで，極（小）値となる ∆x を求める。 dE d(∆x) [ ] ( 2 ) mω 2 h ¯2 −2 h ¯ 2 4 + mω (∆x) = (∆x) − = 8m (∆x)3 (∆x)3 4m2 ω 2 0 = ] [ mω 2 h ¯ ∆x + = (∆x)2 + 3 (∆x) 2mω √ → ∆x = √  h ¯  ∆x − 2mω h ¯ . 2mω √  h ¯  2mω (4) 4. エネルギーの式に前問題の解を代入すると ( E = h ¯2 8m ) h ¯ h ¯ω 2mω 1 + mω 2 = . h ¯ 2 2mω 2 1 (5) これは 1 次元の調和振動子系のエネルギー固有値 h ¯ ω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, · · · の最小値と同じである。すなわち、1 次元の調和振動子系の基底状態は位置と運動量の最小不確定の状態である。 5. (別解-3）位置と運動量の最小の不確定性より ∆x = h ¯ /(2∆px ) をエネルギーの式に代入すると [ ] 1 (∆px )2 m¯ h2 ω 2 E= + (6) 2 m 4(∆px )2 となる。ここで、極（小）値となる ∆px を求める。 dE d(∆px ) [ ] [ ] 1 2∆px 1 (m¯hω)2 m¯ h2 ω 2 4 = = (∆px ) − + (−2) 2 m 4(∆px )3 m(∆px )3 4 ][ ] [ m¯ hω m¯hω 1 = (∆px )2 + (∆px )2 − 3 m(∆px ) 2 2 0 = √ → ∆px = m¯hω (∆px )2 h ¯ω , ( = ) 2 2m 4 (7) 6. (別解-4）エネルギーの式に前問題の解を代入すると 1 E= 2 [ m¯hω ] h ¯ω m¯ h2 ω 2 + m¯hω = . m 2 4 2 2 (8) これは 1 次元の調和振動子系のエネルギー固有値 h ¯ ω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, · · · の最小値と同じである。すなわち、1 次元の調和振動子系の基底状態は位置と運動量の最小不確定の状態である。 2