たわみの微分方程式

ー材料力学講義ー
第11回
平成27年7月3日（金）
今日のテーマ：たわみの微分方程式を解く
たわみの微分方程式
を解くことにより，たわみ曲線 y=f(x) を求める．
①反力を求める．
②曲げモーメント Mx を求める．
③境界条件を考慮して，微分方程式を解く．
2
Example 1
単純支持はり，等分布荷重
①反力RA，RBを求める．問題の対象性を考慮して，
3
②曲げモーメント Mx を求める．
4
③境界条件を考慮して，微分方程式を解く（まずは積分）．
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③つぎに，境界条件を考慮して積分定数を決定する．
x=0 のとき，y=0 より，
0=D → D=0
x=l のとき，y=0 より，
∴

wx
3
2
3
y
x  2lx  l
24 EI z

6
Example 2
単純支持はり，集中荷重
①反力RA，RBを求める．力のつり合いとモーメントのつり合いより，
7
②曲げモーメント Mx を求める．
8
③境界条件を考慮して，微分方程式を解く（まずは積分）．
9
③つぎに，境界条件を考慮して積分定数を決定する．
x=0 および x=l で，たわみ y=0
x=a で dy/dx および y は，(ⅰ)，(ⅱ)で同じ値（連続の条件）
自分で計算してみよう !
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Example 3
はりの不静定問題に挑戦！
RA
①反力RA，RBおよび反モーメントMBを求めたいが，力のつり合
いとモーメントのつり合いのみからでは，決定できない．
②よって，反力RAをそのままにして曲げモーメントMxを求める．
（この未知反力は，最後に境界条件を考慮して求める．）
x
w 2
M x  RA x   wdy  y RA x  x
2
0
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③境界条件を考慮して，微分方程式を解く．
dy
1  RA 2 w 3 

x  x  C

dx
EI z  2
6 
1  RA 3 w 4 
y
x  x   Cx  D

EI z  6
24 
境界条件は，x=0 で y=0，および x=l で y=dy/dx=0．
すなわち，3つの未知数に対して，3つの境界条件が存
在するので，すべての未知数を求めることができる．
1
2
y
wx(l  x) (l  2 x)
48EI z
12
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演習問題
①
たわみ曲線を求めよ．
②
たわみ曲線を求めよ．
また，最大たわみ点
を求めよ．
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